取石子問題

有一種很有意思的游戲,，就是有物體若干堆,，可以是火柴棍或是圍棋子等等均可。兩個(gè)人輪流從堆中取物體若干，規(guī)定最后取光物體者取勝,。這是我國民間很古老的一個(gè)游戲，別看這游戲極其簡單,，卻蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)原理,。下面我們來分析一下要如何才能夠取勝。

（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n個(gè)物品,，兩個(gè)人輪流從這堆物品中取物,，規(guī)定每次至少取一個(gè)，最多取m個(gè),。最后取光者得勝,。

    顯然，如果n=m+1,，那么由于一次最多只能取m個(gè),，所以，無論先取者拿走多少個(gè),，后取者都能夠一次拿走剩余的物品,，后者取勝。因此我們發(fā)現(xiàn)了如何取勝的法則：如果n=（m+1）r+s,，（r為任意自然數(shù),，s≤m),那么先取者要拿走s個(gè)物品，如果后取者拿走k（≤m)個(gè),，那么先取者再拿走m+1-k個(gè),，結(jié)果剩下（m+1）（r-1）個(gè),，以后保持這樣的取法，那么先取者肯定獲勝,?？傊３纸o對(duì)手留下（m+1）的倍數(shù),，就能最后獲勝,。
    這個(gè)游戲還可以有一種變相的玩法：兩個(gè)人輪流報(bào)數(shù)，每次至少報(bào)一個(gè),，最多報(bào)十個(gè),，誰能報(bào)到100者勝。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有兩堆各若干個(gè)物品,，兩個(gè)人輪流從某一堆或同時(shí)從兩堆中取同樣多的物品,，規(guī)定每次至少取一個(gè)，多者不限,，最后取光者得勝,。
    這種情況下是頗為復(fù)雜的。我們用（ak,，bk）（ak ≤ bk ,k=0,，1，2,，...,n)表示兩堆物品的數(shù)量并稱其為局勢,，如果甲面對(duì)（0，0）,，那么甲已經(jīng)輸了,，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個(gè)奇異局勢是：（0,，0）,、（1，2）,、（3,，5）、（4,，7）,、（6，10）,、（8,，13）、（9,，15）,、（11，18）,、（12,，20）。
    可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù),而 bk= ak + k,，奇異局勢有
如下三條性質(zhì)：

    1,。任何自然數(shù)都包含在一個(gè)且僅有一個(gè)奇異局勢中。
    由于ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù),，所以有ak > ak-1 ,，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性質(zhì)1,。成立,。
    2。任意操作都可將奇異局勢變?yōu)榉瞧娈惥謩荨?BR>    事實(shí)上,，若只改變奇異局勢（ak,，bk）的某一個(gè)分量，那么另一個(gè)分量不可能在其他奇異局勢中,，所以必然是非奇異局勢,。如果使（ak，bk）的兩個(gè)分量同時(shí)減少,，則由于其差不變,，且不可能是其他奇異局勢的差，因此也是非奇異局勢,。
    3,。采用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ梢詫⒎瞧娈惥謩葑優(yōu)槠娈惥謩荨?BR>
    假設(shè)面對(duì)的局勢是（a,b）,，若 b = a,，則同時(shí)從兩堆中取走 a 個(gè)物體，就變?yōu)榱似娈惥謩荩?,，0）,；如果a = ak ，b > bk,，那么,，取走b  - bk個(gè)物體，即變?yōu)槠娈惥謩?；如?a = ak ,，  b < bk ,則同時(shí)從兩堆中拿走 ak - ab - ak個(gè)物體,變?yōu)槠娈惥謩荩?ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ,，b= ak + k,則從第一堆中拿走多余的數(shù)量a - ak 即可,；如果a < ak ,，b= ak + k,分兩種情況，第一種,，a=aj （j < k）,從第二堆里面拿走 b - bj 即可,；第二種，a=bj （j < k）,從第二堆里面拿走 b - aj 即可,。

    從如上性質(zhì)可知,，兩個(gè)人如果都采用正確操作，那么面對(duì)非奇異局勢,，先拿者必勝,；反之，則后拿者取勝,。

    那么任給一個(gè)局勢（a,，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢,？我們有如下公式：
    ak =[k（1+√5）/2],，bk= ak + k  （k=0，1,，2,，...,n 方括號(hào)表示取整函數(shù))
奇妙的是其中出現(xiàn)了黃金分割數(shù)（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak,，bk組成的矩形近似為黃金矩形,，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2],，若a=[j（1+√5）/2],，那么a = aj，bj = aj + j,，若不等于,，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1,，若都不是,，那么就不是奇異局勢。然后再按照上述法則進(jìn)行,，一定會(huì)遇到奇異局勢,。

（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干個(gè)物品，兩個(gè)人輪流從某一堆取任意多的物品,，規(guī)定每次至少取一個(gè),，多者不限，最后取光者得勝,。

    這種情況最有意思,，它與二進(jìn)制有密切關(guān)系,，我們用（a，b,，c）表示某種局勢,，首先（0，0,，0）顯然是奇異局勢，無論誰面對(duì)奇異局勢,，都必然失敗,。第二種奇異局勢是（0，n,，n）,，只要與對(duì)手拿走一樣多的物品，最后都將導(dǎo)致（0,，0,，0）。仔細(xì)分析一下,，（1,，2，3）也是奇異局勢,，無論對(duì)手如何拿,，接下來都可以變?yōu)椋?，n,，n）的情形,。

    計(jì)算機(jī)算法里面有一種叫做按位模2加，也叫做異或的運(yùn)算,，我們用符號(hào)（+）表示這種運(yùn)算,。這種運(yùn)算和一般加法不同的一點(diǎn)是1+1=0。先看（1,，2,，3）的按位模2加的結(jié)果：

1 =二進(jìn)制01
2 =二進(jìn)制10
3 =二進(jìn)制11 （+）
———————
0 =二進(jìn)制00 （注意不進(jìn)位）

    對(duì)于奇異局勢（0，n,，n）也一樣,，結(jié)果也是0。

    任何奇異局勢（a,，b,，c）都有a（+）b（+）c =0。

如果我們面對(duì)的是一個(gè)非奇異局勢（a,，b,，c）,，要如何變?yōu)槠娈惥謩菽兀考僭O(shè) a < b< c,我們只要將 c 變?yōu)?a（+）b,即可,因?yàn)橛腥缦碌倪\(yùn)算結(jié)果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0,。要將c 變?yōu)閍（+）b,，只要從 c中減去 c-（a（+）b）即可。

    例1,。（14,，21，39）,，14（+）21=27,，39-27=12，所以從39中拿走12個(gè)物體即可達(dá)到奇異局勢（14,，21,，27）。

    例2,。（55,，81，121）,，55（+）81=102,，121-102=19，所以從121中拿走19個(gè)物品就形成了奇異局勢（55,，81,，102）。

    例3,。（29,，45，58）,，29（+）45=48,，58-48=10，從58中拿走10個(gè),，變?yōu)椋?9,，45，48）,。

    例4,。我們來實(shí)際進(jìn)行一盤比賽看看：
         甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇異局勢
         乙:(1,8,9)->(1,8,4)
         甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇異局勢
         乙:(1,5,4)->(1,4,4)
         甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇異局勢
         乙:(0,4,4)->(0,4,2)
         甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇異局勢
         乙:(0,2,2)->(0,2,1)
         甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇異局勢
         乙:(0,1,1)->(0,1,0)
         甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇異局勢
         甲勝。