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高考數(shù)學難點突破 難點05 求解函數(shù)解析式

 大安匠人 2012-01-04

難點5  求解函數(shù)解析式

求解函數(shù)解析式是高考重點考查內(nèi)容之一,需引起重視.本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎上,,掌握求函數(shù)解析式的幾種方法,,并形成能力,并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力.

●難點磁場

(★★★★)已知f(2cosx)=cos2x+cosx,f(x1).

●案例探究

[例1(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)=  (其中a>0,a1,x>0),f(x)的表達式.

(2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達式.

命題意圖:本題主要考查函數(shù)概念中的三要素:定義域,、值域和對應法則,,以及計算能力和綜合運用知識的能力.屬★★★★題目.

知識依托:利用函數(shù)基礎知識,特別是對“f”的理解,,用好等價轉(zhuǎn)化,,注意定義域.

錯解分析:本題對思維能力要求較高,對定義域的考查,、等價轉(zhuǎn)化易出錯.

技巧與方法:(1)用換元法,;(2)用待定系數(shù)法.

解:(1)t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),x=at.

因此f(t)=  (atat)

f(x)=  (axax)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)

(2)f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c

并且f(1)f(1),、f(0)不能同時等于1或-1,,所以所求函數(shù)為:f(x)=2x21f(x)=2x2+1f(x)=x2x+1f(x)=x2x1f(x)=x2+x+1f(x)=x2+x1.

[例2]設f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當x≤-1時,,y=f(x)的圖象是經(jīng)過點(2,,0),斜率為1的射線,,又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點在(0,,2),且過點(1,,1)的一段拋物線,,試寫出函數(shù)f(x)的表達式,并在圖中作出其圖象.

命題意圖:本題主要考查函數(shù)基本知識,、拋物線,、射線的基本概念及其圖象的作法,對分段函數(shù)的分析需要較強的思維能力.因此,,分段函數(shù)是今后高考的熱點題型.屬★★★★題目. 知識依托:函數(shù)的奇偶性是橋梁,,分類討論是關鍵,待定系數(shù)求出曲線方程是主線.

錯解分析:本題對思維能力要求很高,分類討論,、綜合運用知識易發(fā)生混亂.

技巧與方法:合理進行分類,,并運用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式.

解:(1)x≤-1時,設f(x)=x+b

∵射線過點(2,,0).0=2+bb=2,,∴f(x)=x+2.

(2)當-1<x<1時,設f(x)=ax2+2.

∵拋物線過點(1,,1),,∴1=a·(1)2+2,a=1

f(x)=x2+2.

(3)x1時,f(x)=x+2

綜上可知:f(x)= 作圖由讀者來完成.

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決方法主要有:

1.待定系數(shù)法,,如果已知函數(shù)解析式的構造時,,用待定系數(shù)法;

2.換元法或配湊法,,已知復合函數(shù)fg(x)]的表達式可用換元法,,當表達式較簡單時也可用配湊法;

3.消參法,,若已知抽象的函數(shù)表達式,,則用解方程組消參的方法求解f(x);

另外,在解題過程中經(jīng)常用到分類討論,、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法.

●殲滅難點訓練

一,、選擇題

1.(★★★★)若函數(shù)f(x)= (x )在定義域內(nèi)恒有ff(x)=x,m等于(    )

A.3                              B.                                    C.               D.3

2.(★★★★★)設函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,在x1時,,f(x)=(x+1)21,x>1f(x)等于(    )

A.f(x)=(x+3)21                                             B.f(x)=(x3)21

C.f(x)=(x3)2+1                                             D.f(x)=(x1)21

二,、填空題

3.(★★★★★)已知f(x)+2f( )=3x,f(x)的解析式為_________.

4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0f(x+1)=f(x)+x+1,f(x)=_________.

三、解答題

5.(★★★★)設二次函數(shù)f(x)滿足f(x2)=f(x2),且其圖象在y軸上的截距為1,,在x軸上截得的線段長為 ,,求f(x)的解析式.

6.(★★★★)f(x)是在(-∞,+)上以4為周期的函數(shù),且f(x)是偶函數(shù),,在區(qū)間[23]上時,,f(x)=2(x3)2+4,,求當x∈[1,2]時f(x)的解析式.若矩形ABCD的兩個頂點ABx軸上,,C,、Dy=f(x)(0x2)的圖象上,求這個矩形面積的最大值.

7.(★★★★★)動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)順次經(jīng)過B,、C,、D再回到A,設x表示P點的行程,,f(x)表示PA的長,,g(x)表示△ABP的面積,,求f(x)g(x),并作出g(x)的簡圖.

8.(★★★★★)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù),周期T=5,,函數(shù)y=f(x)(1x1)是奇函數(shù),,又知y=f(x)在[01]上是一次函數(shù),,在[1,,4]上是二次函數(shù),且在x=2時,,函數(shù)取得最小值,,最小值為-5.

(1)證明:f(1)+f(4)=0;

(2)試求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;

(3)試求y=f(x)在[4,,9]上的解析式.

 

參考答案

難點磁場

解法一:(換元法)

f(2cosx)=cos2xcosx=2cos2xcosx1

u=2cosx(1u3),cosx=2u

f(2cosx)=f(u)=2(2u)2(2u)1=2u27u+5(1u3)

f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+4(2x4)

解法二:(配湊法)

f(2cosx)=2cos2xcosx1=2(2cosx)27(2cosx+5

f(x)=2x27x5(1x3),f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+14(2x4).

殲滅難點訓練

一,、1.解析:∵f(x)= .

ff(x)= =x,整理比較系數(shù)得m=3.

答案:A

2.解析:利用數(shù)形結合,x1時,,f(x)=(x+1)21的對稱軸為x=1,最小值為-1,,又y=f(x)關于x=1對稱,故在x>1上,,f(x)的對稱軸為x=3且最小值為-1.

答案:B

二,、3.解析:由f(x)+2f( )=3xf( )+2f(x)=3 .由上面兩式聯(lián)立消去f( )可得f(x)= x.

答案:f(x)= x

4.解析:∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.f(x+1)=f(x)+x+1,

a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,(2a+bx+a+b=bx+x+1.

2a+b=b+1a+b=1,解得a= ,b= ,f(x)= x2+ x.

答案: x2+ x

三、5.解:利用待定系數(shù)法,,設f(x)=ax2+bx+c,然后找關于a,、bc的方程組求解,,f(x)= .

6.解:(1)x∈[1,2,4x∈[2,3,f(x)是偶函數(shù),,∴f(x)=f(x),又因為4f(x)的周期,∴f(x)=f(x)=f(4x)=2(x1)2+4.

(2)x∈[0,,1],,則2x+23,f(x)=f(x+2)=2(x1)2+4,又由(1)可知x∈[0,2]時,f(x)=2(x1)2+4,A,、B坐標分別為(1t,0,(1+t,0)(0t1 ,|AB|=2t,|AD|=2t2+4,S矩形=2t(2t2+4)=4t(2t2),S=S,,∴ =2t2(2t2)·(2t2)( )3= ,當且僅當2t2=2t2,t= 時取等號.S2 S ,Smax= .

7.解:(1)如原題圖,當PAB上運動時,,PA=x;P點在BC上運動時,,由RtABD可得PA= ;P點在CD上運動時,由RtADP易得PA= ;P點在DA上運動時,,PA=4x,f(x)的表達式為:

f(x)=

(2)由于P點在折線ABCD上不同位置時,,△ABP的形狀各有特征,計算它們的面積也有不同的方法,因此同樣必須對P點的位置進行分類求解.

如原題圖,,當P在線段AB上時,,△ABP的面積S=0,;當PBC上時,即1x2時,,SABP= AB·BP= (x1),;當PCD上時,即2x3時,SABP= ·1·1= ,;當PDA上時,,即3x4時,,SABP= (4x).

g(x)=

8.(1)證明:∵y=f(x)是以5為周期的周期函數(shù),,∴f(4)=f(45)=f(1),y=f(x)(1x1)是奇函數(shù),∴f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0.

(2)解:當x∈[1,4]時,,由題意,,可設f(x)=a(x2)25(a0),f(1)+f(4)=0a(12)25+a(42)25=0,解得a=2,f(x)=2(x2)25(1x4).

(3)解:∵y=f(x)(1x1)是奇函數(shù),,∴f(0)=f(0),f(0)=0,y=f(x) (0x1)是一次函數(shù),,∴可設f(x)=kx(0x1),f(1)=2(12)25=3,f(1)=k·1=k,k=3.∴當0x1時,f(x)=3x,當-1x0時,f(x)=3x,4x6時,,-1x51,f(x)=f(x5)=

3(x5)=3x+15,當6x9時,,1x54,f(x)=f(x5)=2(x5)225=2(x7)25.f(x)= .

 

 

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