難點5 求解函數(shù)解析式 求解函數(shù)解析式是高考重點考查內(nèi)容之一,需引起重視.本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎上,,掌握求函數(shù)解析式的幾種方法,,并形成能力,并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力. ●難點磁場 (★★★★)已知f(2-cosx)=cos2x+cosx,求f(x-1). ●案例探究 [例1](1)已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)= (2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達式. 命題意圖:本題主要考查函數(shù)概念中的三要素:定義域,、值域和對應法則,,以及計算能力和綜合運用知識的能力.屬★★★★題目. 知識依托:利用函數(shù)基礎知識,特別是對“f”的理解,,用好等價轉(zhuǎn)化,,注意定義域. 錯解分析:本題對思維能力要求較高,對定義域的考查,、等價轉(zhuǎn)化易出錯. 技巧與方法:(1)用換元法,;(2)用待定系數(shù)法. 解:(1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),則x=at. 因此f(t)= ∴f(x)= (2)由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c 得 并且f(1)、f(-1),、f(0)不能同時等于1或-1,,所以所求函數(shù)為:f(x)=2x2-1或f(x)=-2x2+1或f(x)=-x2-x+1或f(x)=x2-x-1或f(x)=-x2+x+1或f(x)=x2+x-1. [例2]設f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當x≤-1時,,y=f(x)的圖象是經(jīng)過點(-2,,0),斜率為1的射線,,又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點在(0,,2),且過點(-1,,1)的一段拋物線,,試寫出函數(shù)f(x)的表達式,并在圖中作出其圖象. 命題意圖:本題主要考查函數(shù)基本知識,、拋物線,、射線的基本概念及其圖象的作法,對分段函數(shù)的分析需要較強的思維能力.因此,,分段函數(shù)是今后高考的熱點題型.屬★★★★題目. 知識依托:函數(shù)的奇偶性是橋梁,,分類討論是關鍵,待定系數(shù)求出曲線方程是主線. 錯解分析:本題對思維能力要求很高,分類討論,、綜合運用知識易發(fā)生混亂. 技巧與方法:合理進行分類,,并運用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式. 解:(1)當x≤-1時,設f(x)=x+b ∵射線過點(-2,,0).∴0=-2+b即b=2,,∴f(x)=x+2. (2)當-1<x<1時,設f(x)=ax2+2. ∵拋物線過點(-1,,1),,∴1=a·(-1)2+2,即a=-1 ∴f(x)=-x2+2. (3)當x≥1時,f(x)=-x+2 綜上可知:f(x)= ●錦囊妙計 本難點所涉及的問題及解決方法主要有: 1.待定系數(shù)法,,如果已知函數(shù)解析式的構造時,,用待定系數(shù)法; 2.換元法或配湊法,,已知復合函數(shù)f[g(x)]的表達式可用換元法,,當表達式較簡單時也可用配湊法; 3.消參法,,若已知抽象的函數(shù)表達式,,則用解方程組消參的方法求解f(x); 另外,在解題過程中經(jīng)常用到分類討論,、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法. ●殲滅難點訓練 一,、選擇題 1.(★★★★)若函數(shù)f(x)= A.3 B. 2.(★★★★★)設函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱,在x≤1時,,f(x)=(x+1)2-1,則x>1時f(x)等于( ) A.f(x)=(x+3)2-1 B.f(x)=(x-3)2-1 C.f(x)=(x-3)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1 二,、填空題 3.(★★★★★)已知f(x)+ 4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,則f(x)=_________. 三、解答題 5.(★★★★)設二次函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2),且其圖象在y軸上的截距為1,,在x軸上截得的線段長為 6.(★★★★)設f(x)是在(-∞,+∞)上以4為周期的函數(shù),且f(x)是偶函數(shù),,在區(qū)間[2,3]上時,,f(x)=-2(x-3)2+4,,求當x∈[1,2]時f(x)的解析式.若矩形ABCD的兩個頂點A、B在x軸上,,C,、D在y=f(x)(0≤x≤2)的圖象上,求這個矩形面積的最大值. 8.(★★★★★)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù),周期T=5,,函數(shù)y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數(shù),,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數(shù),,在[1,,4]上是二次函數(shù),且在x=2時,,函數(shù)取得最小值,,最小值為-5. (1)證明:f(1)+f(4)=0; (2)試求y=f(x),x∈[1,4]的解析式; (3)試求y=f(x)在[4,,9]上的解析式. 參考答案 難點磁場 解法一:(換元法) ∵f(2-cosx)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1 令u=2-cosx(1≤u≤3),則cosx=2-u ∴f(2-cosx)=f(u)=2(2-u)2-(2-u)-1=2u2-7u+5(1≤u≤3) ∴f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+4(2≤x≤4) 解法二:(配湊法) f(2-cosx)=2cos2x-cosx-1=2(2-cosx)2-7(2-cosx)+5 ∴f(x)=2x2-7x-5(1≤x≤3),即f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+14(2≤x≤4). 殲滅難點訓練 一,、1.解析:∵f(x)= ∴f[f(x)]= 答案:A 2.解析:利用數(shù)形結合,x≤1時,,f(x)=(x+1)2-1的對稱軸為x=-1,最小值為-1,,又y=f(x)關于x=1對稱,故在x>1上,,f(x)的對稱軸為x=3且最小值為-1. 答案:B 二,、3.解析:由f(x)+ 答案:f(x)= 4.解析:∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1, ∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即( 故 答案: 三、5.解:利用待定系數(shù)法,,設f(x)=ax2+bx+c,然后找關于a,、b、c的方程組求解,,f(x)= 6.解:(1)設x∈[1,2],則4-x∈[2,3],∵f(x)是偶函數(shù),,∴f(x)=f(-x),又因為4是f(x)的周期,∴f(x)=f(-x)=f(4-x)=-2(x-1)2+4. (2)設x∈[0,,1],,則2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=-2(x-1)2+4,又由(1)可知x∈[0,2]時,f(x)=-2(x-1)2+4,設A,、B坐標分別為(1-t,0),(1+t,0)(0<t≤1 7.解:(1)如原題圖,當P在AB上運動時,,PA=x;當P點在BC上運動時,,由Rt△ABD可得PA= f(x)= (2)由于P點在折線ABCD上不同位置時,,△ABP的形狀各有特征,計算它們的面積也有不同的方法,因此同樣必須對P點的位置進行分類求解. 如原題圖,,當P在線段AB上時,,△ABP的面積S=0,;當P在BC上時,即1<x≤2時,,S△ABP= 故g(x)= 8.(1)證明:∵y=f(x)是以5為周期的周期函數(shù),,∴f(4)=f(4-5)=f(-1),又y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數(shù),∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解:當x∈[1,4]時,,由題意,,可設f(x)=a(x-2)2-5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,解得a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4). (3)解:∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數(shù),,∴f(0)=-f(-0),∴f(0)=0,又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函數(shù),,∴可設f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1-2)2-5=-3,又f(1)=k·1=k,∴k=-3.∴當0≤x≤1時,f(x)=-3x,當-1≤x<0時,f(x)=-3x,當4≤x≤6時,,-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)= -3(x-5)=-3x+15,當6<x≤9時,,1<x-5≤4,f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.∴f(x)= |
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