問題提出：中國古代有“雞兔同籠”算法和“盈不足術”,，“盈不足術”在國外又稱“雙假借法”,，它們都講授一類問題的固定解法。目前,，小學數(shù)學教學提倡發(fā)散思維,、一題多解和算法多樣化，但缺乏多題一解的“統(tǒng)一思想”,。事實上,，著名的科學家都是學術的集大成者，如愛因斯坦,、高斯等,，他們都善于做統(tǒng)一理論,。本課題在全國率先提出將“統(tǒng)一思想”滲透在小學數(shù)學應用題教學之中，是一種創(chuàng)新,，具有較高的學術價值和教學實踐意義,。

內容提要：小學數(shù)學教師善于“一題多解”和“就題論題”，不熟悉課程改革提倡的“建模思想”和“多題一解”,。立足于提高師生的解題能力,，借鑒中國古代的“盈不足術”和“雞兔同籠”問題，運用函數(shù)思想,，構建小學數(shù)學應用題的“通解”,。

關鍵詞：小學數(shù)學 應用題  通解

正文：盡管小學數(shù)學應用題的題型是多種多樣的，但它們的數(shù)量關系一般都可以用一次函數(shù)f(x)=kx+b表示,，而且是f(0)=b,f(n)=kn+b,f(n+1)=k(n+1)+b,。因此［f(x)-f(0)］÷［f(n+1)+f(n)］=［kx+b-b］÷［k(n+1)+b-(kn+b)］=（kx）÷k=x

上式為我們構建小學數(shù)學應用題的“通解”提供了算理依據(jù)。

對于小學數(shù)學應用題一般都可以這樣去解：先將要求數(shù)假設為0,，與實際結果比較構造一個數(shù)量差,；然后再探尋要求數(shù)每增加1，上述數(shù)量差的變化規(guī)律,；最后看要求數(shù)需要增加到多少,，才能使這個數(shù)量差縮減為0。

這種“設值比較構造差,，漸次調整縮減差”的思維方法實現(xiàn)了小學數(shù)學應用題的“通解”,。它的解題結構是“先始于零，再止于零”,，體現(xiàn)了“形式”的和諧美,；它的解題思想是“先打破平衡，再重建平衡”,，蘊含著“發(fā)展”的辯證法,。

方法運用：

例1 48筐梨和42筐蘋果共重1428千克，已知每筐梨比每筐蘋果少4千克,。每筐梨和每筐蘋果各重多少千克,？

分析與解：假設每筐梨的重量為0，那么每筐蘋果重4千克,。而48筐梨和42筐蘋果共重4×42=168（千克）,，比實際少1428-168=1260（千克）。

每筐梨的重量增加1千克,，則每筐蘋果的重量也增加1千克,，那么48筐梨和42筐蘋果共增加48+42=90（千克）。即上述數(shù)量差縮減90千克。

每筐梨的重量要增加到多少千克,，才能使“1260千克”這個差縮減為0呢,？1260÷90=14（千克）。即每筐梨重14千克,，而每筐蘋果則重14+4=18（千克）,。

綜合算式：（1428-4×42）÷（48+42）=14（千克）  （梨）

          14+4=18（千克）   （蘋果）

例2 一個筑路隊原計劃20天修完一條路，實際每天比原計劃多修45米,，結果15天就完成了任務,。原計劃每天修多少米？

分析與解：假設原計劃每天修的長度為0,，那么實際每天修45米,。而實際修的總長度比原計劃修的總長度多45×15=675（米）。 （兩者實際應相等）

原計劃每天修的長度每增加1米,，則實際每天修的長度也增加1米，那么原計劃修的總長度增加20米,，實際修的總長度增加15米,，上述數(shù)量差縮減20-15=5（米）。

原計劃每天修的長度要增加到多少米,，才能使“675米”這個差縮減為0呢,？675÷5=135（米），即原計劃每天修135米,。

綜合算式：45×15÷（20-15）=135（米）

例3 雞比兔多3只,，兔腳比雞腳朵6只。雞與兔各有多少只,？

分析與解：假設兔的只數(shù)為0,，那么雞有3只，而兔腳比雞腳少2×3=6（只）,。實際上,，兔腳比雞腳多26只，兩者相差6+26=32（只）,。

兔的只數(shù)每增加1只,，則雞的只數(shù)也增加1只，而兔腳增加4只,，雞腳增加2只,，上述數(shù)量差縮減4-2=2（只）。

兔的只數(shù)要增加到多少只,，才能使“32只”這個差縮減為0呢,？32÷2=16（只），即兔有16只，而雞則有16+3=19（只）,。

綜合算式：（2×3+26）÷（4-2）=16（只）（兔）

          16+3=19（只）

例4 兩堆煤,，甲堆重量是乙堆的3倍，如果甲堆運來22噸,，乙堆運2噸,，那么甲堆重量是乙堆的5倍。兩堆煤原來各有多少噸,？

分析與解：假設乙堆原來的重量為0,，則甲堆原來的重量也是0，甲堆運來22噸,，乙堆運來2噸后,，甲堆重量不是乙堆的5倍，而是比乙堆的5倍多22-2×5=12（噸）,。

乙堆原來的重量每增加1噸,，則甲堆的重量增加3噸。而運來后,，甲堆增加3噸,，乙堆的5倍增加5噸，上述數(shù)量差縮減5-3=2（噸）,。

乙堆原來的重量要增加到多少噸,，才能使“12噸”這個差縮減為0呢？12÷2=6（噸）,，即乙堆原來有6噸,，而甲堆原來則有6×3=18（噸）。

綜合算式：（22-2×5）÷（5-3）=6（噸）  （乙堆）

          6×3=18（噸）  （甲堆）

例5 今年,，爺爺90歲,，孫子21歲，孫女19歲,。多少年前爺爺?shù)哪挲g是孫子孫女年齡和的3倍,？

分析與解：假設向前退的年數(shù)為0，但今年爺爺?shù)哪挲g不是孫子孫女年齡和的3倍,，而是比孫子孫女年齡和的3倍少（21+19）×3-90=30（歲）,。

每向前退1年，爺爺?shù)哪挲g減少1歲,，孫子孫女的年齡和減少2歲,，那么爺爺?shù)哪挲g與孫子孫女年齡和的3倍之差減少2×3-1=5（歲），即上述數(shù)量差將縮減5歲,。

向前退多少年,，才能使“30歲”這個差縮減為0呢？30÷5=6（年），即6年前爺爺?shù)哪挲g是孫子孫女年齡和的3倍,。

綜合算式：【（21+19）×3-90】÷（2×3-1）=6（年）

例6 學校買來籃球和足球共21個,，籃球借出1/3，足球借出1個后,，剩下的兩種球個數(shù)相等,。兩種球各有多少個？

分析與解：假設籃球的個數(shù)為0,，那么足球有21個,，借出后，足球比籃球多剩下21-1=20（個）,。

籃球的個數(shù)每增加1個,，足球的個數(shù)則減少1個，借出后,，籃球多剩下1-1/3=2/3（個）,，而足球少剩下1個，上述數(shù)量差將縮減2/3+1=5/3（個）,。

籃球的個數(shù)要增加到多少個,，才能使“20個”這個差縮減為0呢？20÷(5/3)=12（個）,，即籃球有12個,，而足球則有21-12=9（個）,。

綜合算式：（21-1）÷（1-1/3+1）=12（個 ）（籃球）

          21-12=9（個） （足球）

例7 商店以每支10.9元的價格購進一批鋼筆,，售價為每支14元，當賣出這批鋼筆的4/5時,，不僅收回了全部成本,，而且已獲利150元。這批鋼筆一共有多少支,？
分析與解：假設這批鋼筆的支數(shù)為0,，那么賣出4/5時，收回全部成本,，比實際少獲利150元,。

這批鋼筆的支數(shù)每增加1支，則可以多獲利14×(4/5)-10.9=0.3（元）,。

這批鋼筆的支數(shù)要增加到多少支,，才能使“150元”這個差縮減為0呢？150÷0.3=500（支）,，即這批鋼筆一共有500支,。

綜合算式：150÷［14×(4/5)-10.9］=500（支）

例8 建南小學六年級共有學生84人，其中男生人數(shù)的5/8和女生人數(shù)的3/4共有58人。六年級男,、女生各有多少人,？

分析與解：假設男生的人數(shù)為0，那么女生有84人,，而男生人數(shù)的5/8和女生人數(shù)的3/4共有84×(3/4)=63（人）,，比實際多63-58=5（人）。

男生人數(shù)每增加1人,，女生人數(shù)則減少1人,。而男生人數(shù)的5/8和女生人數(shù)的3/4就減少3/4-5/8=1/8（人）。即上述數(shù)量差將縮減1/8人,。

男生人數(shù)要增加到多少人,，才能使“5人”這個差縮減為0呢？5÷1/8=40（人）,。即男生有40人,，而女生則有84-40=44（人）。

綜合算式：［84×(3/4)-58］÷（3/4-5/8）=40（人）（男生）

          84-40=44（人）

值得說明的是,，以上例題皆有其它解題思路,，雖然上述方法也并非是每道題的最簡解法，但卻是它們的“通解”,。

還有許多應用題可以這樣來解,，在此不再一一舉例。請讀者運用“發(fā)展”的觀點和函數(shù)思想,，掌握“通解”的方法,，去解答更多更難的小學數(shù)學應用題吧！

練習題：

1,、一張桌子比一把椅子貴22元,，而12張桌子比18把椅子貴204元。一把椅子多少元,？

2,、一批零件，原計劃每天加工100個,，實際每天加工120個,，結果提前5天完成任務。原計劃多少天完成,？

3,、雞兔共有100只，而雞腳比兔腳多80只,。兔有多少只,？

4,、師生二人，今年老師是學生年齡的5倍,，6年后,，老師的年齡是學生的3倍。今年學生多少歲,？

5,、今年，爸爸44歲,，兒子12歲,。多少年后爸爸的年齡是兒子的3倍？

6,、一艘輪船往返于兩碼頭之間,，去時順流每小時行42千米，返時逆流每小時行30千米,，往返一共用18小時,。兩碼頭相距多少千米？

7,、兩堆煤,，甲堆重量是乙堆的4/5，甲堆用去4噸,，乙堆用去6噸,，剩下的重量，甲堆是乙堆的5/6,。乙堆剩下多少噸,？

8、姐妹倆共養(yǎng)羊100只,，而姐姐養(yǎng)的7/10比妹妹養(yǎng)的7/8多7只,。妹妹養(yǎng)羊多少只,？

參考答案,；

1、（22×12-204）÷（18-12）=10（元）

2,、120×5÷（120-100）=30（天）

3,、（2×100-80）÷（2+4）=20（只）

4、（6×3-6）÷（5-3）=6（歲）

5,、（44-12×3）÷（3-1）=4（年）

6,、18÷（1/42+1/30）=315（千米）

7、［6×(4/5)-4］÷（5/6-4/5）=24（噸）

8,、［100×(7/10)-7］÷（7/10+7/8）=40（只）

    創(chuàng)新點：立足于提高師生的解題能力,，運用課程改革提倡的“建模思想”,，提出與“一題多解”完全不同的探究思路——“多題一解”，努力構建小學數(shù)學應用題的“通解”模式,。

實踐效果及推廣價值：經(jīng)過培訓學習,，滲透建模思想和函數(shù)思想，能很快地提高小學師生解決問題的能力,，進一步體會解題策略的多樣化,。此研究成果，為開展數(shù)學探究性學習提供一個重要的內容和方法,。

參考文獻：數(shù)學課程標準

課題研究開始時間：2002年

早期研究成果：

1,、例談盈不足術（1998年《小學教學研究》第7期）

2、雙假借構造盈虧解應用題（1998年《中小學數(shù)學》第7-8期）

3,、用函數(shù)思想探求小學數(shù)學應用題“解”的規(guī)律（2002年《中小學數(shù)學》小學版第6期）

后期研究成果：

1,、編制數(shù)字題解的口訣（2006年《中小學數(shù)學》小學版第1-2期）

2、破解奇數(shù)階幻方（2007年《中小學數(shù)學》小學版第1-2期）

3,、后延減前伸 差數(shù)除以N——例談整數(shù)裂項（2007年《中小學數(shù)學》小學版第4期）

4,、類比“兩物假設置換”構建“三物假設置換”（ 2009年《中小學數(shù)學》小學版第6期）