人民教育出版社A版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材全國(guó)經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)暨“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念,、思想方法及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”全國(guó)第9次課題研討會(huì)在山西省晉中市召開(kāi)，會(huì)上筆者開(kāi)設(shè)了一節(jié)“離散型隨機(jī)變量”的研討課,，引起與會(huì)專(zhuān)家和代表的一陣熱議．自然地,，也促使筆者教學(xué)后的深入反思和對(duì)本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的重新思考．

第一部分　教學(xué)反思

1．教學(xué)設(shè)計(jì)的邏輯把握

一個(gè)好的教學(xué)設(shè)計(jì)，除了對(duì)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解要到位外,，至少還必須具備兩個(gè)特點(diǎn):其一,，構(gòu)思簡(jiǎn)單；其二,，邏輯清晰．所謂構(gòu)思簡(jiǎn)單,，就是整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)有一條主線貫穿，讓人一下子能識(shí)別和讀懂教學(xué)內(nèi)容的“核心”和“精華”,；所謂邏輯清晰,，就是整個(gè)設(shè)計(jì)從教學(xué)起點(diǎn)，到教學(xué)過(guò)程,，再到教學(xué)結(jié)果,，各個(gè)環(huán)節(jié)清清楚楚，自然流暢．

“離散型隨機(jī)變量”是人教A版數(shù)學(xué)選修2-3第二章 隨機(jī)變量及其分布的起始課,，是學(xué)生在學(xué)習(xí)《必修3》概率的基礎(chǔ)上對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的進(jìn)一步研究．其教學(xué)內(nèi)容主要是隨機(jī)變量的概念,、離散型隨機(jī)變量的概念，以及如何通過(guò)離散型隨機(jī)變量展示用實(shí)數(shù)空間刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的方法,，體會(huì)和領(lǐng)悟隨機(jī)變量在研究隨機(jī)現(xiàn)象中的重要作用,，滲透將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法．由于它的引入，大大簡(jiǎn)化了各種事件的表示,，且使得我們可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì),，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型．應(yīng)該說(shuō)，原教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解是到位的,，瑕疵是稍多地強(qiáng)調(diào)了“隨機(jī)變量的每一個(gè)取值（X）與它所對(duì)應(yīng)的概率值（P）建立了一個(gè)函數(shù)關(guān)系”,，與會(huì)有專(zhuān)家認(rèn)為,，這個(gè)提法雖然沒(méi)有錯(cuò)誤，但對(duì)于理解隨機(jī)變量的概念和以后的應(yīng)用沒(méi)有多大意義,，可以不提（該提法在第二部分的再設(shè)計(jì)中已作刪減）．就該課整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)而言,，邏輯清楚，問(wèn)題自然：先從學(xué)生熟知的拋擲一枚骰子（一個(gè)熟悉的簡(jiǎn)單的背景）入手,，理解隨機(jī)變量的概念,；接著讓學(xué)生舉例，在學(xué)生活動(dòng)中完成對(duì)“隨機(jī)變量”概念的深刻理解,；再在學(xué)生的舉例中分辨隨機(jī)變量的取值類(lèi)型,，形成離散型隨機(jī)變量概念．

2．隨機(jī)變量的概念教學(xué)

教師對(duì)隨機(jī)變量概念的認(rèn)識(shí)和理解，以及教學(xué)采取怎樣的方式讓學(xué)生自然“接納”和“領(lǐng)悟”隨機(jī)變量概念,，是要下番功夫的,，因?yàn)檫@會(huì)直接影響教學(xué)的成敗．為此,，探討以下兩個(gè)問(wèn)題：

（1）為什么要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量

眾所周知,，概率論是從數(shù)量上來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就是指：知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，知道每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率．對(duì)于給定的隨機(jī)現(xiàn)象,，首先要描述所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．在數(shù)學(xué)上處理時(shí),，一個(gè)常用的、也很自然的做法是用數(shù)來(lái)表示結(jié)果,，即把每個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)．這樣，就建立起了一個(gè)統(tǒng)一的刻畫(huà)不同概率模型中所提及的事件的方法,，就可以用數(shù)學(xué)分析的方法方便有力地研究隨機(jī)現(xiàn)象了．也就是說(shuō),，為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算，就需將任意的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,，即將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果用唯一確定的數(shù)字與它對(duì)應(yīng),，建立起隨機(jī)變量的概念（概言之，隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)可能結(jié)果的數(shù)量化表示,，它是隨試驗(yàn)結(jié)果而變化的量,，其本質(zhì)是樣本空間到實(shí)數(shù)集之間的一個(gè)映射）．建立隨機(jī)變量概念后，隨機(jī)試驗(yàn)中我們感興趣的事件就可以通過(guò)隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來(lái)．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率,，即對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究就可以具體轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量概率分布的研究．這樣就可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來(lái)研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì),，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型，這就是新概念產(chǎn)生的必要性,，也就是為什么要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的緣由．

我們?cè)購(gòu)牧硗庖粋€(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)為什么要學(xué)習(xí)隨機(jī)變量: 我們知道概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科,，也就是從表面上雜亂無(wú)章、形式偶然的現(xiàn)象中探索出現(xiàn)象的規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科(這里的規(guī)律性,，無(wú)非是指各種試驗(yàn)結(jié)果以多大概率出現(xiàn)這一問(wèn)題)．正是因?yàn)槿绱?span>,，探求這個(gè)規(guī)律性的工具應(yīng)該適用于各種形式的隨機(jī)現(xiàn)象,，而且還應(yīng)該簡(jiǎn)便、有力．分布函數(shù)就是這樣一個(gè)工具,，但這個(gè)函數(shù)是在引入隨機(jī)變量后定義的,，，即分布函數(shù)是事件的概率．分布函數(shù)可以把各種類(lèi)型的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的概率分布用一個(gè)統(tǒng)一的形式表示出來(lái),，它就是一個(gè)普通的函數(shù),，它有很好的分析性質(zhì),便于處理，它的引入使得許多概率論問(wèn)題得以簡(jiǎn)化而歸結(jié)為普通函數(shù)的運(yùn)算,，這樣就能利用數(shù)學(xué)分析的結(jié)果研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性．
    一般地,，在學(xué)習(xí)概率論之前，研究普通變量與函數(shù)所采用的思路和方法已為人們所熟悉．自然,，人們希望采用熟悉的方法和已有的研究成果研究新的課題,，隨機(jī)變量的引入無(wú)疑也有這方面的原因．

（2）用怎樣的方式學(xué)習(xí)和理解“隨機(jī)變量”

“隨機(jī)變量”這個(gè)概念（或者簡(jiǎn)單地說(shuō)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)的這種對(duì)應(yīng)）實(shí)際上早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中，而且在不少場(chǎng)合都已不自覺(jué)地“實(shí)際使用”（對(duì)應(yīng)思想）,，如在玩擲骰子時(shí)會(huì)用“點(diǎn)數(shù)”去表示擲出結(jié)果,，在觀看射擊比賽時(shí)會(huì)用“環(huán)數(shù)”去評(píng)價(jià)射擊成績(jī)，抽獎(jiǎng)時(shí)會(huì)先對(duì)獎(jiǎng)券“編號(hào)”,，隨機(jī)抽取一部分學(xué)生時(shí)會(huì)用“學(xué)號(hào)”去代替,，觀看比賽足球比賽時(shí)，贏,、平,、輸分別會(huì)用“得分”去量化、隨意選購(gòu)商品時(shí)會(huì)用“價(jià)格”去衡量等等,，只是沒(méi)有“明朗化”．因而,，對(duì)隨機(jī)變量概念的教學(xué)上筆者覺(jué)得沒(méi)有必要?jiǎng)?chuàng)設(shè)更多的問(wèn)題情境，讓學(xué)生來(lái)概括提煉．實(shí)際上,，把所有試驗(yàn)結(jié)果都數(shù)字化,，要讓學(xué)生自己想出來(lái)也是十分困難的（盡管已經(jīng)在不自覺(jué)地使用）．因?yàn)椋@要求對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有很好的認(rèn)識(shí)才行．故設(shè)計(jì)中主要考慮如何通過(guò)教師有啟發(fā)地提問(wèn),，學(xué)生有意義地學(xué)習(xí)來(lái)“內(nèi)化”這個(gè)概念．教學(xué)中讓學(xué)生覺(jué)得問(wèn)題的提出,，概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程較為自然,，能夠從教師的講授,，自己的思考中感受數(shù)學(xué)是怎樣一步步研究現(xiàn)實(shí)世界的．故在教學(xué)設(shè)計(jì)中可以從一個(gè)簡(jiǎn)單的學(xué)生熟悉的例子（作為新概念引入的背景）入手，循循善誘,，使得通過(guò)這個(gè)例子,，就好像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)“建構(gòu)”新知的領(lǐng)域．原教學(xué)設(shè)計(jì)中對(duì)“隨機(jī)變量”概念的教學(xué)是以拋擲一枚骰子為背景的，對(duì)“隨機(jī)變量”的理解,，是從函數(shù)（隨機(jī)變量的取值X與隨機(jī)事件發(fā)生的概率P之間的對(duì)應(yīng)）和映射（隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與隨機(jī)變量的取值的對(duì)應(yīng)）的強(qiáng)調(diào)中進(jìn)行的,，意在讓學(xué)生體會(huì)隨機(jī)變量在研究隨機(jī)現(xiàn)象中的作用．教學(xué)實(shí)踐后有專(zhuān)家認(rèn)為，讓學(xué)生明白“隨機(jī)變量的取值X與隨機(jī)事件發(fā)生的概率P之間的對(duì)應(yīng)（函數(shù)關(guān)系）”對(duì)理解隨機(jī)變量的概念沒(méi)有多大好處．反思后,，筆者認(rèn)為,，就本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)而言，只要學(xué)生能認(rèn)識(shí)到：建立隨機(jī)變量概念后,，隨機(jī)試驗(yàn)中我們感興趣的事件就可以通過(guò)隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來(lái),，“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”來(lái)表示，即可“把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究具體轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量概率分布的研究”,，這樣就可以借用有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)了．這樣就可以了．

因此,，反思后的教學(xué)設(shè)計(jì)著意彰顯這一主旨．對(duì)隨機(jī)變量概念學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)上，分兩步走：第一步是認(rèn)識(shí)“用數(shù)字表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”的量是一個(gè)變量,，第二步是通過(guò)建立“一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射” 認(rèn)識(shí)到在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下,，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，即這是一個(gè)特殊的變量,，與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有關(guān),，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)隨機(jī)變量概念,，并理解隨機(jī)變量的特征：它的取值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，具有隨機(jī)性,，即在試驗(yàn)之前不能肯定它的取值，一旦完成一次試驗(yàn),，它的取值隨之確定，且所有可能取值是明確的．進(jìn)一步,，如何讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)和理解“隨機(jī)變量”這一概念,？原教學(xué)設(shè)計(jì)采用讓學(xué)生舉例的方式，在學(xué)生的活動(dòng)中來(lái)完成對(duì)“隨機(jī)變量”概念的理解,，這一設(shè)計(jì)思路得到同行肯定．事實(shí)上，要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí),，必須要有他們身體力行的實(shí)踐，從自己親歷親為的探索思考中獲得體驗(yàn)，從自己不斷深入的概括活動(dòng)中,，獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)的領(lǐng)悟．此處安排學(xué)生舉例正是基于這種考慮,，其意義在于：其一,，可以觀察學(xué)生是否領(lǐng)會(huì)把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)學(xué)化的思想，以及怎樣把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)學(xué)化（尤其是試驗(yàn)的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的隨機(jī)現(xiàn)象）,；其二，體會(huì)引入隨機(jī)變量概念后,，隨機(jī)試驗(yàn)中的事件就可以通過(guò)隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來(lái)，“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”來(lái)表示,，（即研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律就可以轉(zhuǎn)化為研究隨機(jī)變量的概率分布）．

3．離散型隨機(jī)變量概念的形成

離散型隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的下位概念，而下位學(xué)習(xí)依靠的主要是同化．原教學(xué)設(shè)計(jì)中是這樣考慮的：在學(xué)生的舉例中通過(guò)分析數(shù)學(xué)化之后的隨機(jī)變量取值的集合的特征來(lái)引發(fā)離散型隨機(jī)變量的概念．即通過(guò)學(xué)生的舉例,，分辨隨機(jī)變量取值的不同情況：隨機(jī)變量的取值有可數(shù)的,，有不可數(shù)的，有有限個(gè)數(shù)的,，有無(wú)限個(gè)數(shù)的，從中來(lái)歸納概括離散型隨機(jī)變量的特征：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量．如學(xué)生列舉的都是隨機(jī)變量取值為整數(shù)的例子,，則引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題：隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎,？你能否舉個(gè)（些）例子，而隨機(jī)變量的取值不是整數(shù)呢,？再讓學(xué)生舉例,，以此來(lái)學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的概念．從這個(gè)角度來(lái)提出問(wèn)題比較自然，這是因?yàn)椋私怆S機(jī)變量的取值的多種情況本身也是對(duì)隨機(jī)變量概念的認(rèn)識(shí)．所以,，提出隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎,？這個(gè)問(wèn)題本身也是理解和進(jìn)一步認(rèn)識(shí)隨機(jī)變量概念的需要．教學(xué)實(shí)踐表明，這樣的設(shè)計(jì)建立在“學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)”,，新概念（離散型隨機(jī)變量）的形成水到渠成、渾然天成．而在原教學(xué)設(shè)計(jì)之前,，還有過(guò)這樣的設(shè)計(jì)：安排如下一個(gè)練習(xí)，然后再提出一個(gè)問(wèn)題

練習(xí)：下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用隨機(jī)變量表示,？若能,，請(qǐng)寫(xiě)出各隨機(jī)變量可能的取值.

（1）在含有10件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽取4件,取到次品的件數(shù),；

（2）接連不斷地射擊,首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù),；

（3）某公園內(nèi)積雪最厚處達(dá)17厘米，則該公園內(nèi)各處的積雪厚度.

問(wèn)題：以上隨機(jī)變量可能的取值有什么不同?

這里設(shè)計(jì)練習(xí),，一方面起到鞏固隨機(jī)變量概念的目的，另一方面通過(guò)比較讓學(xué)生明白隨機(jī)變量的取值可以有不同的情況,，即隨機(jī)變量取值有可數(shù)的,，有不可數(shù)的，有有限個(gè)數(shù)的,，有無(wú)限個(gè)數(shù)的．從中來(lái)“同化”離散性隨機(jī)變量的概念．

兩者設(shè)計(jì)相比,，顯然是改進(jìn)后的設(shè)計(jì)更為自然、流暢,，它意在借助學(xué)生所舉出的例子,，分辨隨機(jī)變量的類(lèi)型，即某些隨機(jī)變量的取值是離散的,，從而給出離散型隨機(jī)變量的概念,，而不再單獨(dú)用問(wèn)題的方式(另起爐灶)提出來(lái)（把問(wèn)題中的例子也納入進(jìn)來(lái)）．何況分辨隨機(jī)變量的類(lèi)型也是對(duì)“隨機(jī)變量”概念（外延）的進(jìn)一步理解與認(rèn)識(shí)．

第二部分　反思后的教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就是指：知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,，以及每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率．而對(duì)于給定的隨機(jī)現(xiàn)象,，首先要描述所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．在數(shù)學(xué)上處理時(shí),，一個(gè)常用的,、也很自然的做法就是用數(shù)來(lái)表示結(jié)果,，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，使得每個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù),，這樣就可以通過(guò)實(shí)數(shù)空間（定量的角度）來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象,，從而就可以利用數(shù)學(xué)工具,，用數(shù)學(xué)分析的方法來(lái)研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象．簡(jiǎn)言之,，隨機(jī)變量是連接隨機(jī)現(xiàn)象和實(shí)數(shù)空間的一座橋梁，它使得我們可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì),，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型,，這便是為什么要引入隨機(jī)變量的緣由.

隨機(jī)變量在概率統(tǒng)計(jì)研究中起著極其重要的作用,，隨機(jī)變量是用來(lái)描述隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果的一類(lèi)特殊的變量,，隨機(jī)變量能夠反映隨機(jī)現(xiàn)象的共性,，有關(guān)隨機(jī)變量的結(jié)論可以應(yīng)用到具有不同背景的實(shí)際問(wèn)題中．隨機(jī)變量就是建立了一個(gè)從隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射，這與函數(shù)概念在本質(zhì)上（一種對(duì)應(yīng)關(guān)系）是一致的,，隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．

離散型隨機(jī)變量是最簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量,，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上、下位概念的關(guān)系．本節(jié)課主要通過(guò)離散型隨機(jī)變量展示用實(shí)數(shù)空間刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的方法．本節(jié)課的重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)離散型隨機(jī)變量的特征,，了解其本質(zhì)屬性，體會(huì)引入隨機(jī)變量的作用．

二,、教學(xué)目標(biāo)解析

1．在對(duì)具體實(shí)例的分析中,，認(rèn)識(shí)和體會(huì)隨機(jī)變量對(duì)刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和建立隨機(jī)變量概念的必要性,，并會(huì)恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量來(lái)描述所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象,，能敘述隨機(jī)變量可能取的值及其所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,；

2．在列舉的隨機(jī)試驗(yàn)中,，通過(guò)對(duì)隨機(jī)變量取值類(lèi)型的分辨，歸納和概括離散型隨機(jī)變量的特征,，形成離散型隨機(jī)變量的概念,，并會(huì)利用離散型隨機(jī)變量刻畫(huà)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,；

3．在舉例,、觀察,、思考、發(fā)現(xiàn)中經(jīng)歷將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過(guò)程,，滲透將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問(wèn)題的意識(shí)．

三,、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是對(duì)引入隨機(jī)變量目的與作用的認(rèn)識(shí),，以及隨機(jī)變量和普通變量的本質(zhì)區(qū)別．隨機(jī)變量這個(gè)概念其實(shí)早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中，而且在不少場(chǎng)合都已不自覺(jué)的“實(shí)際使用”,，只是沒(méi)有明朗化．學(xué)生學(xué)習(xí)這一概念就是把這些“實(shí)際使用的”規(guī)則,、程序,、步驟等進(jìn)一步加以明確．所以，教師的責(zé)任就是為學(xué)生建立隨機(jī)變量這個(gè)概念修通渠道．可通過(guò)學(xué)生熟悉的擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)讓學(xué)生體會(huì)隨機(jī)變量概念的發(fā)生,，在師生舉例中來(lái)體會(huì)隨機(jī)變量概念的發(fā)展，特別是諸如拋擲一枚硬幣等試驗(yàn),，其結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì),，怎么讓學(xué)生自然地想到用數(shù)來(lái)表示其試驗(yàn)結(jié)果，并且所用的數(shù)又盡量簡(jiǎn)單,，便于研究．教學(xué)中需多舉試驗(yàn)結(jié)果本身已具有數(shù)值意義的實(shí)例，來(lái)發(fā)揮正遷移作用．通過(guò)多舉例讓學(xué)生理解：一旦給出了隨機(jī)變量,，即把每個(gè)結(jié)果都用一個(gè)數(shù)表示后，認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率．

另外,，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上,、下位概念的關(guān)系，從學(xué)習(xí)的認(rèn)知方式看,，下位學(xué)習(xí)依靠的主要是同化,，上位學(xué)習(xí)依靠的主要是順應(yīng),，上位學(xué)習(xí)一般采用的思維方法主要是概括和綜合,，它主要通過(guò)改造（歸納和綜合）原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容而建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．因此，從這一角度來(lái)分析,，學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量概念的學(xué)習(xí)和真正理解比離散型隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)要困難一些．故在隨機(jī)變量的教學(xué)中，要特別重視學(xué)生舉例,，讓學(xué)生在充分的自主活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，體驗(yàn)將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過(guò)程,，體會(huì)隨機(jī)變量對(duì)刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和研究隨機(jī)現(xiàn)象的工具性作用,，從而來(lái)把握隨機(jī)變量的內(nèi)核．

四,、教學(xué)支持條件分析

學(xué)生在必修3概率一章中學(xué)習(xí)過(guò)的隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件,、簡(jiǎn)單的概率模型和必修1中學(xué)習(xí)過(guò)的變量、函數(shù),、映射等知識(shí)是學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟和“接納”隨機(jī)變量概念的重要知識(shí)基礎(chǔ),，教學(xué)時(shí)應(yīng)充分注意這一教學(xué)條件,；另外,，為更好地形成隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量兩個(gè)概念,，教學(xué)中可借助媒體列舉和展現(xiàn)豐富的實(shí)例和問(wèn)題，以留給學(xué)生更多的時(shí)間思考和概括．

五,、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)基本流程

（二）教學(xué)過(guò)程

1.理解隨機(jī)變量概念

問(wèn)題1：拋擲一枚骰子,，可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些,？概率分別是多少,？

 [設(shè)計(jì)意圖] 以學(xué)生熟悉的隨機(jī)試驗(yàn)為例,，在復(fù)習(xí)舊知中孕育新知．

[師生活動(dòng)] 畫(huà)表一,，指出試驗(yàn)結(jié)果分別有“1點(diǎn)的面朝上”、“2點(diǎn)的面朝上”,、“3點(diǎn)的面朝上” 、“4點(diǎn)的面朝上”,、 “5點(diǎn)的面朝上” 、“6點(diǎn)的面朝上”,，它們都是基本事件．為了研究這些事件，常常把它們分別與一個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)起來(lái)．比如,，用數(shù)字1與“1點(diǎn)的面朝上”這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）對(duì)應(yīng),，用數(shù)字2與“2點(diǎn)的面朝上”這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）對(duì)應(yīng)，等等．師生共同填寫(xiě)數(shù)字,，形成表二．

引導(dǎo)學(xué)生分析,，像這樣“用數(shù)字表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”的量用X來(lái)表示,，它可以取集合{1，2,，3,，4，5,，6}的值，說(shuō)明X是一個(gè)變量．

[設(shè)計(jì)意圖] “用數(shù)字來(lái)表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”實(shí)際上早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中,，而且在不少場(chǎng)合都已不自覺(jué)地“實(shí)際使用”，如射擊比賽中會(huì)用“環(huán)數(shù)”去表示射擊成績(jī),，擲骰子時(shí)會(huì)用“點(diǎn)數(shù)”去表示擲出結(jié)果,，抽獎(jiǎng)時(shí)會(huì)先對(duì)獎(jiǎng)券“編號(hào)”，隨機(jī)抽取一部分學(xué)生時(shí)會(huì)用“學(xué)號(hào)”去代替等等,，只是沒(méi)有明朗化．因而，“用數(shù)字來(lái)表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果”可以通過(guò)教師有啟發(fā)地提問(wèn),，有意義地講授進(jìn)行,，讓學(xué)生覺(jué)得問(wèn)題的提出，概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程較為自然,，能夠從教師的講授中感受數(shù)學(xué)是怎樣一步步研究現(xiàn)實(shí)世界的．

問(wèn)題2：在這里（指著表二），每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果用唯一確定的數(shù)字與它對(duì)應(yīng),，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？

[設(shè)計(jì)意圖]建立一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射．讓學(xué)生感悟：一旦給出了隨機(jī)變量,，即把每個(gè)結(jié)果都用一個(gè)數(shù)表示后,，認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每一個(gè)值時(shí)的概率,，從而感受把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)字化（成為實(shí)數(shù)）的必要性,，體會(huì)引入隨機(jī)變量的必要性．同時(shí)讓學(xué)生感受概念的從無(wú)到有、自然形成的過(guò)程．

[師生活動(dòng)] 啟發(fā)誘導(dǎo),，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在這里建立了一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射．形成下表三：拋擲一枚骰子

讓學(xué)生觀察,、思考：剛才,，用數(shù)字表示試驗(yàn)結(jié)果的變量X，它根據(jù)什么在變化,？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，它的變化是有規(guī)律的,，這是個(gè)特殊的變量,，與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有關(guān)，在試驗(yàn)之前不知道會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)值（即它的取值依賴于試驗(yàn)結(jié)果,，因此取值具有隨機(jī)性,，即在試驗(yàn)之前不能肯定它的取值,，一旦完成一次試驗(yàn),，它的取值隨之確定）．同時(shí),，教師指出：在這個(gè)試驗(yàn)中,，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系（也即建立了一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射）使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（樣本點(diǎn)）都用一個(gè)確定的數(shù)字表示（即所有可能取值是明確的）．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下,，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母表示．

問(wèn)題3：隨機(jī)變量這個(gè)概念與我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)概念有類(lèi)似的地方嗎?

[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生與曾經(jīng)學(xué)過(guò)的函數(shù)概念比較,，從而加深對(duì)隨機(jī)變量概念的理解．

[師生活動(dòng)]“類(lèi)比”函數(shù)概念，領(lǐng)悟隨機(jī)變量和函數(shù)概念在本質(zhì)上都是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,，都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù),，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)，在這兩種映射之間,，試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．隨機(jī)變量的取值范圍我們稱為隨機(jī)變量的值域．如拋擲一枚骰子,，隨機(jī)變量的值域?yàn)?span>,；

引導(dǎo)學(xué)生利用隨機(jī)變量表達(dá)一些事件，例如拋擲一枚骰子中,，表示“1點(diǎn)的面朝上”,； “3點(diǎn)的面朝上”可以用表示；表示“5點(diǎn)的面朝上”或“6點(diǎn)的面朝上”．

同時(shí)指出：通過(guò)映射把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng),，也就是,，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,，這樣“隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”就可以用“隨機(jī)變量的取值集合到對(duì)應(yīng)概率集合的映射”來(lái)表示,，即可把“對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究具體轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量概率分布的研究”．這樣我們就可以借用有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)了．

接著，進(jìn)一步指出：在學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)（必修3）》時(shí)我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)概率,、方差等概念，學(xué)過(guò)簡(jiǎn)單的概率模型,，在今后的學(xué)習(xí)中，我們將利用隨機(jī)變量描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象,，進(jìn)一步體會(huì)概率模型的作用及運(yùn)用概率思想思考和解決一些實(shí)際問(wèn)題．（體現(xiàn)章引言）

2．對(duì)隨機(jī)變量的深刻認(rèn)識(shí)(對(duì)對(duì)應(yīng)思想──映射的體驗(yàn))

問(wèn)題4：你能再舉些例子嗎,？（請(qǐng)學(xué)生列舉隨機(jī)試驗(yàn),，并將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化,，不必寫(xiě)出概率）

[設(shè)計(jì)意圖] 讓學(xué)生參與舉例,，體驗(yàn)將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化（把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)極其重要的數(shù)學(xué)方法）和將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過(guò)程.其意義在于兩個(gè)方面:其一,學(xué)生通過(guò)尋找(尋找本身就是一個(gè)甄別隨機(jī)與非隨機(jī)的過(guò)程),選擇自己感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象,并學(xué)會(huì)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件;其二,在將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過(guò)程中體會(huì)隨機(jī)變量在研究隨機(jī)現(xiàn)象中的重要作用.同時(shí)進(jìn)一步深刻理解隨機(jī)變量的概念,領(lǐng)悟隨機(jī)變量學(xué)習(xí)的重要性,，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問(wèn)題的意識(shí)．

[師生活動(dòng)]教師關(guān)注學(xué)生的舉例,，關(guān)注其關(guān)鍵過(guò)程：隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些,？如何將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,？要求學(xué)生畫(huà)表,，體會(huì)映射的過(guò)程．教師給學(xué)生充分展示和交流所舉例子的時(shí)間．同時(shí)，教師也參與舉例（教材中有關(guān)于抽取產(chǎn)品,、射擊、瀏覽某網(wǎng)頁(yè)等例子可以納入進(jìn)來(lái)）,，深刻體會(huì)將實(shí)際問(wèn)題（隨機(jī)現(xiàn)象）數(shù)學(xué)化（數(shù)字化）的過(guò)程,，感受建立隨機(jī)變量概念的重要意義．

對(duì)學(xué)生列舉的試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)事件,，諸如投擲一枚硬幣的試驗(yàn)等,，要引導(dǎo)學(xué)生分析比較,，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),，可以用不同的隨機(jī)變量來(lái)表示．但用哪兩個(gè)數(shù)字來(lái)表示,，主要是要盡量簡(jiǎn)單，合理,，便于研究．如表四：拋擲一枚骰子

在學(xué)生舉例中學(xué)習(xí)如何用隨機(jī)變量去定義試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)事件（中間表示映射的一欄表格可以省略）．

問(wèn)題5：任何隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎,？同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,，可以用不同的數(shù)字表示嗎,？

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生領(lǐng)悟任何隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果都可以用數(shù)字來(lái)表示（試驗(yàn)結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)的可以通過(guò)賦值,，將其數(shù)量化）,，同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,，可以用不同的數(shù)字表示,，表示的原則主要是有實(shí)際意義，簡(jiǎn)單合理,，便于研究．

3．形成離散型隨機(jī)變量概念

問(wèn)題6：隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎？你能否舉個(gè)（些）例子,，而隨機(jī)變量的取值不是整數(shù)呢？

[設(shè)計(jì)意圖] 關(guān)注學(xué)生的舉例,，借學(xué)生舉出的例子,，引導(dǎo)分析數(shù)學(xué)化之后的隨機(jī)變量取值的集合的特征（一個(gè)新概念產(chǎn)生之后，我們應(yīng)該端詳它一番）,，分辨隨機(jī)變量的類(lèi)型，即某些隨機(jī)變量的取值是離散的,，而有些不是,從而給出離散型隨機(jī)變量的概念．如果學(xué)生列舉的都是離散型隨機(jī)變量，則教師可啟發(fā)點(diǎn)撥,，啟發(fā)后引導(dǎo)學(xué)生再舉例，或給出以下問(wèn)題7：

問(wèn)題7：請(qǐng)仿照剛才的例子,，分析下列隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)變量可以取哪些值,？你能夠一個(gè)一個(gè)列出來(lái)嗎?

（1）某公交車(chē)站每隔10分鐘有1輛汽車(chē)到站,，某人到達(dá)該車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的,，他等車(chē)的時(shí)間,；

（2）檢測(cè)一批燈泡（相同型號(hào)）的使用壽命．

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)與前面列舉例子的比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果中,，表示隨機(jī)事件的隨機(jī)變量的取值是一個(gè)區(qū)間，其值無(wú)法一一列出,，以此形成離散型隨機(jī)變量的概念．同時(shí)明晰在隨機(jī)現(xiàn)象中隨機(jī)變量的取值類(lèi)型是豐富多樣的,，這也是對(duì)隨機(jī)變量概念（外延）的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)．

問(wèn)題8：如果我們僅僅關(guān)心“某人等車(chē)的時(shí)間多于5分鐘或不多于5分鐘”兩種情況,，那該怎樣定義隨機(jī)變量呢?

[設(shè)計(jì)意圖] 在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，為研究方便,，有時(shí)需要根據(jù)所關(guān)心的問(wèn)題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量．讓學(xué)生明白恰當(dāng)定義隨機(jī)變量給我們研究問(wèn)題帶來(lái)方便．問(wèn)（2）讓學(xué)生選擇自己關(guān)心的問(wèn)題來(lái)恰當(dāng)定義隨機(jī)變量．

[師生活動(dòng)]通過(guò)分析,，讓學(xué)生明白，在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí),，有時(shí)需要根據(jù)所關(guān)心的問(wèn)題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量．

4．練習(xí)反饋（見(jiàn)教科書(shū)第45頁(yè)）

下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示,？若能,，請(qǐng)寫(xiě)出各隨機(jī)變量可能的取值并說(shuō)明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

（1）拋擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和,；

（2）某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中射進(jìn)的球數(shù),；

（3）任意抽取一瓶某種標(biāo)有2500ml的飲料,其實(shí)際量與規(guī)定量之差．

[設(shè)計(jì)意圖]在應(yīng)用中鞏固離散型隨機(jī)變量的概念，并能熟練利用離散型隨機(jī)變量刻畫(huà)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．

5．小結(jié)回授

問(wèn)題9：你能用自己的語(yǔ)言描述隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的定義及它們之間的區(qū)別嗎？（學(xué)生回答后,，可以再問(wèn)：你能簡(jiǎn)單地說(shuō)說(shuō)引入隨機(jī)變量的好處嗎？）

[設(shè)計(jì)意圖] 學(xué)生用自己的語(yǔ)言來(lái)概括本節(jié)課學(xué)到的知識(shí),，是一種“主動(dòng)建構(gòu)”，也真正體現(xiàn)知識(shí)學(xué)到了手．

[師生活動(dòng)]引入隨機(jī)變量后,，隨機(jī)試驗(yàn)中我們感興趣的事件就可以通過(guò)隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來(lái)．認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率．也即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化,，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,，我們就可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來(lái)研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象了．

六,、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

人教A版教科書(shū)第49頁(yè)習(xí)題2.1中A組,，第1,，2,，3題.