1．解析幾何在中學數學課程中的地位和作用
從前所述可見，解析幾何把代數的知識和方法系統(tǒng)地用于研究幾何,，數形結合的思想和方法不但使代數,、幾何獲得了前所未有的進展，而且還使微積分的發(fā)明水到渠成,。因此,，解析幾何既是溝通代數與幾何的橋梁，也是從初等數學過渡到高等數學的橋梁,。
由于人類活動的需要,，解決天體運動、拋射體運動,、單擺運動等各種運動問題成為數學的重大課題,。而運動可以從兩個角度看：一是作為點的軌跡,；二是作為位置與時間的關系。數學史上,，在函數概念還沒有充分認識之前,，函數被當作曲線來研究，例如,，正弦曲線是在旋輪線的研究中作為它的“伴侶曲線”而進入數學的,。后來，人們使用運動的概念來引進曲線,，例如，伽利略證明了斜拋體的運動軌跡是拋物線,，因而把拋物線看成是動點的軌跡,；牛頓說，曲線是由于點的連續(xù)運動而描畫出來的,。把曲線看成是動點的軌跡這一概念逐漸地被認可和接受以后,，函數（變量之間的關系）與曲線的聯(lián)系就很緊密了，從而也就使解析幾何與函數的聯(lián)系更緊密了,。某種意義上看,，由于借助于坐標系而描繪了函數圖象，使抽象的函數得到形象直觀的表示,，從而使研究函數的方法更加多樣而有力,，對函數性質的認識也更加全面而具體。當然,，“函數與圖象”,、“曲線與方程”畢竟是兩個不同的問題。例如,，函數y=f(x)中,，x，y的地位“不平等”,，函數y隨自變量x的變化而變化,，兩者有依賴關系；方程f(x,，y)=0中,，x，y的地位“平等”,，雖然也有依賴關系,，但并沒有一個隨另一個變化的關系；函數中,，x,，y之間有特殊的對應關系（單值對應）,，表現在圖象上，就是平行于y軸的直線與圖象至多有一個交點,；方程的解沒有這種限制,，所以交點可以不止一個；借助函數的圖象討論性質,，這里的“性質”是函數的變化規(guī)律,，由方程討論曲線的性質，這里的“性質”是曲線的幾何性質,。
另一方面,，眾所周知，解析幾何的研究對象與歐氏幾何相同,，但是它們的研究方法不同,，這里不再贅述。
綜上所述,，中學數學中的解析幾何以數形結合思想為指導,，以坐標法為核心，以空間形式為研究對象,，用代數方法研究幾何,；與函數知識緊密聯(lián)系，是初等數學通向高等數學的橋梁,。因此,，解析幾何是融中學代數、幾何,、三角等為一體的綜合性課程,。通過解析幾何學習，可以使學生對已學知識融會貫通,，把數和形的研究緊密地結合起來,，提高綜合應用數學知識的能力。同時,，系統(tǒng)地掌握解析幾何的基礎知識,，也為今后學習高等數學奠定了堅實的基礎。
2．解析幾何的教學目標體系
解析幾何的教學目標體系可以從知識,、方法,、思想、觀點等幾個層次進行構建,。在確定這一目標體系時,，要特別注意從解析幾何的學科特點出發(fā)。
考察解析幾何的學科特點，最重要的是它的“方法論”特征,；另外就是它的“綜合性”,，首先是用代數方法研究幾何問題，同時,，用幾何的眼光處理代數問題（幾何直觀能力的體現）,。據此，解析幾何的首要教學目標應是理解“坐標法”,，具體包括用坐標法解決問題的過程和要素（“三步曲”）以及在應用坐標法過程中體現的數形結合思想,。當然，要讓中學生通過解析幾何的學習完全掌握坐標法是不現實的,。因為雖然從方法本身看非常樸實,，但中學的解析幾何中處理的內容相對簡單，還不足以表現坐標法的力量,，所以只能要求學生初步掌握方法,，初步學會用坐標法思想思考和處理問題，并注意在其它學科的學習中滲透,。
思想方法必須有具體知識作為載體才能被領會，也只有和具體知識融為一體才能發(fā)揮作用,。因此,，坐標法必須在解析幾何知識的學習中逐步掌握。直線和圓錐曲線是比較簡單的平面曲線,，以這兩種曲線為載體學習解析幾何,，可以更好地使學生把精力集中于坐標法的領悟。具體的知識目標是：
掌握直角坐標系中曲線與方程的關系,。
能根據直線,、圓錐曲線的幾何特征，選擇適當的直角坐標系,，建立直線方程和圓錐曲線方程,；能通過直線方程、圓錐曲線方程討論它們的性質,。
一般地,，能根據問題的幾何特征，選擇適當的坐標系建立曲線方程,，并能通過方程研究曲線的性質,。
能利用坐標變換化簡曲線方程。
了解一些重要曲線的極坐標方程和參數方程,。
更高層次地看,，由于解析幾何是運用辯證法思想分析和解決問題的典范，因此教學中應利用這一特點，培養(yǎng)學生用運動,、變化和對立統(tǒng)一等觀點分析和解決問題,，領會辯證法思想。
3．解析幾何的課程結構圖
（1）總體結構
（2）直線與方程
（3）圓錐曲線與方程
幾點說明：
第一,，數形結合思想和坐標法是統(tǒng)領全局的,，曲線與方程的關系（一種充要條件）是討論各種具體問題的基礎，但這些都是“默會知識”,，要采取逐步滲透的方法使學生領會和掌握,。在學習直線與方程、圓與方程時,，采取默認的方式,，先不刻意從“曲線與方程”角度討論，學生也不會特別提出疑問,。有了一定的基礎后,，在橢圓、雙曲線,、拋物線之前討論“曲線與方程”,，還是比較合適的。
第二,，斜率概念和過兩點的直線的斜率公式是“直線與方程”部分的核心內容,，其他大部分內容都可以看成是由此“導出”的內容。“點到直線的距離公式”由于其聯(lián)系的廣泛性,，是“先用幾何眼光觀察與思考,，再用坐標法解決”的好素材，能很好地體現坐標法的綜合性,。圓錐曲線中,，橢圓具有典型性，其他曲線的討論可以通過類比橢圓的討論完成,。
第三,，直角坐標系內，兩點間的距離公式,、定比分點公式（中點坐標公式）,、傾斜角、斜率,、兩條直線的交角（平行,、垂直）等與直線的方程沒有直接關系（不需要根據直線方程來討論），這些內容的安排可以有一定的靈活性,。從系統(tǒng)性考慮,，把交角、平行、垂直等作為性質,，在求出直線方程后,，用坐標法進行討論，也是作為“用代數方法研究幾何問題”的初步實踐,，比較合適,。另外，作為應用,，在直線與方程的最后安排一定的用坐標法解決平面幾何典型問題（如與三角形的外心,、重心、垂心有關的問題）的實踐,，對于學生領會坐標法,、提高學習興趣等都是有好處的。
第四,，圓錐曲線與方程是中學解析幾何課程的核心內容,，也是平面幾何沒有涉及的，所以應當特別強調確定這些曲線的幾何要素的探索,。在明確幾何要素的基礎上,，再利用對稱性建立坐標系求標準方程。圓錐曲線的統(tǒng)一定義表明它們之間的內在聯(lián)系,，是非常重要的,。但是為了分散難點，把表現各類圓錐曲線的“個性定義及其方程”放在直角坐標系下討論,，把“統(tǒng)一定義及其方程”放在極坐標系下討論。實際上,，在極坐標系中建立統(tǒng)一定義下的圓錐曲線方程更加方便,，方程也更加簡單、優(yōu)美,。
第五,，從解析幾何課程的性質出發(fā)，由削枝強干的考慮,，同時也是課時所限,，對于那些需要較多的平面幾何知識才能較好解決的問題，在解析幾何教學中最好不要涉及,。也就是說,，解析幾何中的綜合，應當以“用坐標法解決幾何問題”為主,，研究“代數關系的幾何意義”為輔,。
第六，高中解析幾何課程，空間坐標系可以不必涉及,。在用空間向量解決立體幾何問題時,，再介紹空間直角坐標系就可以了。這樣既體現削枝強干原則,，又體現學以致用的原則,。用到時再適時引入有利于學生的學習興趣、及時鞏固等,。
4．解析幾何的內容和要求
（1）直線與方程
①理解直線的傾斜角和斜率的概念,，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式,；掌握兩點間的距離公式,。
②根據直角坐標系內確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程點斜式,，并能由點斜式推出兩點式及一般式,；理解斜截式與一次函數的關系。
③能根據直線方程探索并掌握：兩條直線平行或垂直的條件,；兩直線的交點坐標,；點到直線的距離公式；兩條平行直線間的距離,。
④能用直線的方程解決簡單的問題,。
（2）圓與方程
①在平面直角坐標系中，根據確定圓的幾何要素,，探索并掌握圓的標準方程與一般方程,。
②能根據直線、圓的方程,，判斷直線與圓,、圓與圓的位置關系。
③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題,。
（3）曲線與方程
結合實例,，理解曲線與方程的關系，進一步感受數形結合的基本思想,。
（4）圓錐曲線與方程
①從具體情境中抽象出確定橢圓,、雙曲線、拋物線模型的幾何要素,；掌握橢圓,、雙曲線、拋物線的定義,、標準方程,、幾何圖形及簡單性質,。
②能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系等）和實際問題。
（5）坐標變換
①在直角坐標系中,，通過具體例子,，探索并理解坐標平移公式。
②在直角坐標系中,，通過具體例子,，了解坐標伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。
（6）極坐標系
①能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置,，理解極坐標系和平面直角坐標系的區(qū)別與聯(lián)系,，能進行極坐標和直角坐標的互化。
②能求簡單曲線（如過極點的直線,、過極點或圓心在極點的圓）和圓錐曲線統(tǒng)一定義下的方程,。
（7）參數方程
①利用直線、圓和圓錐曲線的幾何性質,，選擇適當的參數寫出它們的參數方程,。
②能求平擺線和漸開線的參數方程。
③能用參數方程解決一些簡單問題,。
說明：
到底應該讓學生討論哪些圓錐曲線的性質,，主要應該從是否能較好反映圓錐曲線的重要特點出發(fā)。從標準方程的特點,，最容易得到的是范圍,、頂點、對稱性等,，而離心率,、準線、漸近線,、光學性質等最能反映圓錐曲線特點的性質,，則很難直接從方程中得到，需要安排專項討論才能完成,。所以,，圓錐曲線性質的討論可以分為如下三塊：在“個性定義”下,，討論范圍,、頂點、對稱性,、漸近線等,；在“統(tǒng)一定義”下，討論離心率,、準線等,；在圓錐曲線的應用中討論光學性質,。
“幾何變換的代數表示”與這里討論的問題聯(lián)系并不緊密，因此坐標變換的內容如果不與“曲線方程的化簡”結合,，不能顯示其學習的必要性,。所以，是否需要這一內容,，或者把它放在函數中去,，都是可以研究的。
