本文的目的是介紹解析幾何發(fā)展的歷史，重點(diǎn)討論解析幾何的方法──坐標(biāo)法（坐標(biāo)法）,，及其核心思想──數(shù)形結(jié)合思想,，并在此基礎(chǔ)上，討論中學(xué)數(shù)學(xué)中解析幾何的課程結(jié)構(gòu),、內(nèi)容及其處理方法,，最后介紹人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材解析幾何部分的編寫特點(diǎn)和教學(xué)建議。由于內(nèi)容較多,，我們分四個題目進(jìn)行討論,。

眾所周知，近代數(shù)學(xué)的第一個里程碑是解析幾何的誕生,。這也是因應(yīng)了時代發(fā)展的需要,。文藝復(fù)興使得科技文明獲得新生，近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展使運(yùn)動變化的研究成為自然科學(xué)的中心問題,，由此而迫切需要一種新的數(shù)學(xué)工具。這樣,，數(shù)學(xué)就再一次“扮演了先行者,、奠基者的角色”，“而其中影響無比深遠(yuǎn)者首推坐標(biāo)解析幾何和微積分,，它們奠定了對于各種各樣自然現(xiàn)象作深刻的數(shù)理分析的基本工具,。”

1．作為“方法論”的坐標(biāo)法思想

解析幾何的創(chuàng)建是為了科學(xué)發(fā)展的需要，同時，從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看,，也是出于對數(shù)學(xué)方法的追求,。認(rèn)識清楚這一點(diǎn)，對于我們理解解析幾何的基本思想特別重要,。這可以從追溯Descartes和Fermat在創(chuàng)立解析幾何時的心路歷程看出這種追求,。

（1）Descartes的坐標(biāo)法思想

Descartes1596年3月31日出生于法國拉埃耶一個古老的貴族家庭,。他從小體弱多病,，但非常好學(xué)，勤于思考,，他不僅在數(shù)學(xué)上做出了重要的開創(chuàng)性貢獻(xiàn),，而且在哲學(xué),、生物學(xué)、物理學(xué)等眾多領(lǐng)域都做出了杰出貢獻(xiàn),。他是機(jī)械自然觀的第一個系統(tǒng)表述者,，被譽(yù)為近代哲學(xué)的開創(chuàng)者。正如克萊因指出的,，“Descartes是第一個杰出的近代哲學(xué)家,，是近代生物學(xué)的奠基人，是第一流的物理學(xué)家,，但只偶然地是個數(shù)學(xué)家,。”他以大哲學(xué)家的眼光審視數(shù)學(xué)，認(rèn)為數(shù)學(xué)立足于公理上的證明是無懈可擊的,，而且是任何權(quán)威所不能左右的,。數(shù)學(xué)提供了獲得必然結(jié)果以及有效地證明其結(jié)果的方法。數(shù)學(xué)方法“是一個知識工具,，比任何其他由于人的作用而得來的知識工具更為有力,，因而它是所有其他知識工具的源泉……所有那些目的在于研究順序和度量的科學(xué)，都和數(shù)學(xué)有關(guān),。” 他研究數(shù)學(xué),，目的是想尋找一種能在一切領(lǐng)域里建立真理的方法。他認(rèn)為,，邏輯本身對任何創(chuàng)造性的人類目標(biāo)都貧乏而毫無用處,；哲學(xué)、倫理學(xué),、道德學(xué)中的證明,，與數(shù)學(xué)相比，花哨而虛假,。那么應(yīng)當(dāng)如何發(fā)現(xiàn)呢,？這就是：通過“控制下的實(shí)驗(yàn)”并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理。

Descartes認(rèn)為，以往的幾何,、代數(shù)研究都存在很大缺陷：歐氏幾何中沒有那種普遍適用的證明方法,，幾乎每一個證明都需要某種新的、技巧性很強(qiáng)的想法,；代數(shù)的方法具有一般性,，其推理程序也是機(jī)械化的，但它完全受法則和公式的控制,，以至于“成為一種充滿混雜與晦暗,、故意用來阻礙思想的藝術(shù)，而不像用來改進(jìn)思想的科學(xué)”,。所以,，代數(shù)與幾何必須互相取長補(bǔ)短。不過,，他推崇代數(shù)的力量,，認(rèn)為代數(shù)方法在提供廣泛的方法論方面要高出幾何方法，因此代數(shù)具有作為一門普遍的科學(xué)方法的潛力,。于是,，他提出了一個計劃，即

任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解,。

他把精力集中在研究怎樣把代數(shù)方法用于解決幾何問題,，其結(jié)果是創(chuàng)立了解析幾何。

1637年,，Descartes在朋友的勸說下出版了《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》（簡稱《方法論》）,，這是一本“文學(xué)和哲學(xué)的經(jīng)典著作”，包括三個著名的附錄──《幾何學(xué)》,、《屈光學(xué)》和《氣象學(xué)》,，解析幾何的發(fā)明就包含在《幾何學(xué)》中。他用于說明坐標(biāo)法思想的問題是著名的Pappus問題,，這是一個求與若干條給定直線具有確定關(guān)系的點(diǎn)的軌跡問題,。他用坐標(biāo)法證明了給定的直線是四條時的Pappus結(jié)論，實(shí)際上就是通過建立平面上的坐標(biāo)系,，使點(diǎn)與坐標(biāo)（有序?qū)崝?shù)對（x,，y））一一對應(yīng)，求出x,，y滿足的方程： y²＝Ay+Bxy+Cx+Dx²,，其中A，B,，C，D是由已知量組成的代數(shù)式，并把這個方程看成是點(diǎn)的軌跡（曲線）,。這樣,，一個幾何問題就歸結(jié)為代數(shù)問題。所以,，Descartes的理論建立在兩個觀念的基礎(chǔ)上：坐標(biāo)觀念,；利用坐標(biāo)方法把帶有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成是平面上的一條曲線的觀念。

基于坐標(biāo)法思想,，Descartes給出了一系列新穎的結(jié)論,，例如：曲線的次與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)，因此選擇的坐標(biāo)軸要使得方程越簡單越好,；在同一坐標(biāo)系內(nèi)寫出兩條不同曲線的方程,，解它們的聯(lián)立方程組就求出兩條曲線的交點(diǎn)；用方程的“次”給幾何曲線分類,，圓錐曲線的方程是二次的（沒有證明）,；等。

（2）Fermat的坐標(biāo)幾何

我們知道,，Fermat是數(shù)學(xué)史上最著名的數(shù)學(xué)家之一,，在數(shù)論、代數(shù)的研究中成就卓著,。進(jìn)一步地,，他考慮用代數(shù)來研究曲線。在一本《軌跡引論》的小冊子中,，他提出要發(fā)起一個關(guān)于軌跡的一般研究,，這種研究是希臘人沒有做到的。他提出的一般原理是：只要在最后的方程里出現(xiàn)了兩個未知量,，我們就得到一個軌跡,，這兩個量之一，其末端就描繪出一條直線或曲線,。直線只有一種,，曲線的種類則是無限的，圓,、拋物線,、橢圓等都是。他明確地使用了坐標(biāo)的概念,，而上述“未知量”實(shí)際上就是“一類數(shù)的代表”,，即變量，也就是橫坐標(biāo),、縱坐標(biāo),。

綜上所述,，Descartes和Fermat創(chuàng)立解析幾何的原動力是他們對普適性方法的追求，因而解析幾何具有濃厚的“方法論”色彩,。事實(shí)上,，在17世紀(jì)的前半葉，一系列最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家已經(jīng)接近了解析幾何的觀念,，但只有Descartes和Fermat特別清楚地意識到了創(chuàng)立新的數(shù)學(xué)分支的可能性,。唯有作為哲學(xué)家的Descartes，才提出了“創(chuàng)造一種方法,，以便用來解決所有的幾何問題,，給出這些問題的所謂一般的解法”的思想；同樣的,，唯有作為精通數(shù)論并對字母代表數(shù)的思想能應(yīng)用自如的大數(shù)學(xué)家Fermat,，才能洞察數(shù)量方法的深遠(yuǎn)意義，而且注意到代數(shù)具有提供這種方法的力量,，并用代數(shù)方法來研究幾何,。總之,，幾何,、代數(shù)和一般變量概念的結(jié)合是坐標(biāo)法的起源；只有像Descartes和Fermat這樣具有綜合性知識結(jié)構(gòu)的大家,，才能順應(yīng)時代的要求而發(fā)明這一對數(shù)學(xué)發(fā)展具有決定性影響的方法,。了解這一點(diǎn)很重要，因?yàn)檫@能使我們理解為什么在中學(xué)數(shù)學(xué)中要學(xué)解析幾何,，以及為什么解析幾何課應(yīng)當(dāng)把重點(diǎn)放在對坐標(biāo)法的理解和應(yīng)用上,，而不是把精力浪費(fèi)在一些復(fù)雜的求曲線方程的代數(shù)變換上。

2．解析幾何的發(fā)展

與任何新的發(fā)明創(chuàng)造一樣,，坐標(biāo)法思想也是在很長時間的檢驗(yàn),、爭論后才逐漸被數(shù)學(xué)界所接受和使用。有許多原因阻礙了解析幾何思想的傳播,。例如,，盡管Descartes知道自己的貢獻(xiàn)的絕不僅僅是提供了一個解決作圖問題的新方法，但他對作圖問題的強(qiáng)調(diào)淡化了坐標(biāo)法思想,，致使人們認(rèn)為解析幾何主要是解決作圖問題的工具,；當(dāng)時，有許多數(shù)學(xué)家反對把幾何和代數(shù)混淆起來,；人們認(rèn)為,，代數(shù)的理論要從幾何的邏輯論證中找到依據(jù)，代數(shù)缺乏嚴(yán)密性,，因而不能替代幾何,，甚至不能與幾何并列,；等。

不過,，是金子總會發(fā)光,，也有許多人逐漸接受并開始發(fā)展解析幾何。例如,，1655年，John Wallis在《論圓錐曲線》中第一次得到圓錐曲線的方程,，他把圓錐曲線定義為對應(yīng)于含x和y的二次方程的曲線,，并證明這些曲線確實(shí)就是幾何里的圓錐曲線。他的書對傳播坐標(biāo)幾何的思想起了很大作用,，同時也普及了這樣的處理法：把圓錐截線看作是平面曲線,，而不看作是圓錐與平面的交線。他強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理是獨(dú)立有效的,，并不需要依靠幾何的證實(shí),。值得指出的是，直接把圓錐曲線看成是平面曲線,，是對應(yīng)于含x和y的二次方程的曲線,，可以使人們更直接地看到坐標(biāo)法的有效性，即可以直接從方程性質(zhì)的研究得到曲線的性質(zhì),，這比只把代數(shù)作為一種工具的觀點(diǎn)顯然前進(jìn)了一步,，只有這樣才真正實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。

    又如,，在《流數(shù)法與無窮級數(shù)》中,，Newton用了很多解析幾何的方法，他第一次引進(jìn)了類似于極坐標(biāo)系的新坐標(biāo)系,；Bernoulli在解析幾何上也有許多貢獻(xiàn),，例如他在1691年發(fā)表了關(guān)于極坐標(biāo)的文章，在1694年用坐標(biāo)法討論了雙扭線,，這是一條在18世紀(jì)的科學(xué)發(fā)展中起了相當(dāng)大作用的曲線,。人們在研究中發(fā)現(xiàn)，用坐標(biāo)法討論那些有用曲線的性質(zhì),，例如對數(shù)螺線,、懸鏈線、旋輪線等,，是非常有效的,。當(dāng)然，解析幾何基礎(chǔ)中的主要幾何內(nèi)容是圓錐曲線的理論,。如果對古希臘人來說,，圓錐曲線只是具有純粹數(shù)學(xué)興趣的對象,，那么在17、18世紀(jì)的科技文明大發(fā)展的時代,，研究它們則主要是為了解決天文學(xué),、力學(xué)和技術(shù)等中的問題。

在18世紀(jì),，平面解析幾何得到廣泛研究,，并發(fā)展為成熟的學(xué)科。例如,，Jacob Hermann在1729年自由地用極坐標(biāo)研究曲線,，還給出了從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換公式；1748年,，Euler在他的名著《引論》中引進(jìn)了曲線的參數(shù)表示,，書中對平面解析幾何進(jìn)行了系統(tǒng)討論；等,?？臻g解析幾何在18世紀(jì)也得到大發(fā)展。John Bernoulli在1715年給Leibniz的一封信中引進(jìn)了三個坐標(biāo)平面,，經(jīng)過后來的數(shù)學(xué)家的改善,，弄清了曲面能用三個坐標(biāo)變量的一個方程表示出來的觀念；1731年,，Clairaut在《關(guān)于雙重曲率曲線的研究》一書中,，給出了一些曲面的方程，弄清楚了描述一條空間曲線需要兩個曲面方程,，給出了求垂直于投影平面的柱面的方程,，關(guān)于x，y和z的齊次方程表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)的一個錐面,；Euler在《引論》第二卷的一個附錄中,，詳細(xì)系統(tǒng)地研究了空間解析幾何，通過坐標(biāo)變換,，把方程ax²+by²+cz²+dxy+exz+fyz+gx+hy+kz=l化成標(biāo)準(zhǔn)形式,，并得到六種曲面：錐面，柱面,，橢球面,，單葉和雙葉雙曲面，雙曲拋物面和拋物柱面,，他主張按方程的次數(shù)對空間曲線,、曲面進(jìn)行分類，因?yàn)榇螖?shù)是線性變換下的不變量,；此外,，Lagrange,、Monge等數(shù)學(xué)家都對解析幾何投入了大量研究，得到了大量關(guān)于空間曲線,、曲面的性質(zhì),，Newton對高次平面曲線進(jìn)行了大量研究；等,。由于Euler,，Lagrange和Monge的工作，解析幾何成了一門獨(dú)立且充滿活力的數(shù)學(xué)分支,。

3．平面解析幾何的定義和主要問題

從前面的論述中可以看到,，解析幾何體現(xiàn)了研究幾何的代數(shù)方法。這就是利用坐標(biāo)系將點(diǎn)表示為有序數(shù)組,，建立起空間點(diǎn)與有序數(shù)組之間的一一對應(yīng)，由此可以將空間的線（直線,、曲線）,、面（平面、曲面）表示為一個方程,，幾何問題就歸結(jié)為代數(shù)問題,；然后借助于代數(shù)運(yùn)算和變換，對這些數(shù),、代數(shù)式及方程之間的關(guān)系進(jìn)行討論,；最后再把討論的結(jié)果利用坐標(biāo)系翻譯成相應(yīng)的幾何結(jié)論。這就是我們熟悉的三步曲：

翻譯──代數(shù)討論──翻譯,。

因此,，解析幾何就是在采用了坐標(biāo)方法的同時，運(yùn)用代數(shù)方法來研究幾何對象,。它所解決的主要問題是：

(1)通過計算來解決作圖問題,，例如分線段成已知比值──定比分點(diǎn)公式；

(2)求有某種幾何性質(zhì)的曲線方程,；

(3)根據(jù)曲線的方程,，用代數(shù)方法證明（或討論）曲線的幾何性質(zhì)；

(4)賦予代數(shù)方程以幾何意義,，用幾何方法研究它的代數(shù)性質(zhì),，例如用拋物線和圓的交點(diǎn)解三次或四次方程。

4．解析幾何的意義

首先,，解析幾何的意義表現(xiàn)在它所提供的數(shù)形結(jié)合思想上,。在這一思想的指引下，一個幾何對象被數(shù)（坐標(biāo)）所完全刻畫,，幾何概念可以表示為代數(shù)的形式,，幾何目標(biāo)可以通過代數(shù)方法來達(dá)到,；反過來，它使代數(shù)語言得到了幾何解釋,，從而代數(shù)語言有了直觀意義,，人們能從中得到啟發(fā)而提出新的結(jié)論。“只要代數(shù)與幾何分道揚(yáng)鑣,，它們的進(jìn)展就緩慢,，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時,，它們就互相吸取新鮮的活力,，從那以后，就以快速的步伐走向完善,。”總之,，解析幾何的思想使得代數(shù)與幾何水乳交融、相輔相成,、相得益彰,，它不但促進(jìn)了兩者的大幅度進(jìn)展，而且也使微積分的展現(xiàn)變得水到渠成,。“十七世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展,，在很大程度上應(yīng)歸功于坐標(biāo)幾何。”

特別值得指出的是,，這種思想所反映出的事物辯證統(tǒng)一,、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，具有方法論的意義,，不僅對于數(shù)學(xué)的研究,，而且對于處理其他問題也有非常重要的意義。

其次,，解析幾何為科學(xué)提供了迫切需要的工具,。Descartes曾說：“……我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何。這就是說,，不再去考慮那些僅僅是用來練習(xí)思想的問題,。我這樣做，是為了研究另一種幾何,，即目的在于解釋自然現(xiàn)象的幾何,。” 事實(shí)上，在Descartes所處的17世紀(jì),，天文學(xué),、力學(xué)等有一系列的新發(fā)現(xiàn)。開普勒發(fā)現(xiàn)行星繞太陽的運(yùn)動軌道是橢圓；伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的物體是沿著拋物線的軌道運(yùn)動的,。過去,，對于橢圓、拋物線等,，因?yàn)闆]有實(shí)用的需要,，因此作為圓錐與平面的截線，只要在幾何上得到研究就足夠了,。但現(xiàn)在,，因?yàn)楹胶！④娛碌男枰?，對它們進(jìn)行計算成了必需,。這樣，科學(xué)對數(shù)量工具的需求變得非常迫切了,。解析幾何使人能把形象和路線表示為代數(shù)的形式,，從而導(dǎo)出數(shù)量工具，正好滿足了這種迫切的需求,。

第三,，為數(shù)學(xué)提供了統(tǒng)一處理問題的工具。Descartes的本意是通過解析幾何來給幾何引進(jìn)新方法,，但解析幾何的成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他的預(yù)期。代數(shù)系統(tǒng)地用于幾何研究,，不但能迅速地證明關(guān)于曲線的任何事實(shí),，而且這種解決問題的方式基本上是程序化的。因?yàn)?/span>Descartes和Fermat都不用負(fù)坐標(biāo),，因此他們也許根本沒有預(yù)料到,，當(dāng)字母可以代表任意數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)甚至是復(fù)數(shù)）時,，就可以用代數(shù)來統(tǒng)一處理綜合幾何中那些必須分別處理的情形,。例如，平面幾何證明三角形的三條高交于一點(diǎn),，要分交點(diǎn)在三角形內(nèi)還是在三角形外,，而在坐標(biāo)幾何中可以不加區(qū)分。有些幾何曲線的性質(zhì),，如果用綜合幾何的方法是很難證明的,，但如果用坐標(biāo)法卻非常簡單。例如,，二次曲線平行弦的中點(diǎn)的軌跡是直線段,；二次曲線的光學(xué)性質(zhì)；等。有些幾何問題,，例如三等分任意角,、化圓為方、倍立方體等所謂的三大尺規(guī)作圖難題,，用代數(shù)可以漂亮地,、迅速地決定它們能還是不能，而離開代數(shù),，決定就成為不可能了,。而有些幾何曲線，例如旋輪線,、對數(shù)曲線,、對數(shù)螺線……，如果不用解析幾何的方法,，那么我們將根本無法知道該如何去研究它們的性質(zhì),。解析幾何有一套發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的統(tǒng)一、有用且好用的方法,。坐標(biāo)法使人們能夠認(rèn)識典型的幾何問題并能把在幾何形式上互不相關(guān)的問題歸在一起,。代數(shù)給幾何帶來最自然的分類原則和最自然的方法層次。

第四,，解析幾何的發(fā)明,，完成了數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次劃時代的變革，正如恩格斯指出的：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾變數(shù),。有了變數(shù),，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù),，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……,。”人們曾這樣評價笛卡爾：極少有人能刷新人類思想的一個完整的方面,，笛卡兒就是那極少數(shù)人中的一個。這個貢獻(xiàn)屬于最杰出之列,，在有史以來對數(shù)學(xué)作出的最杰出貢獻(xiàn)中,，它以其感人的簡單而引人注目。笛卡爾再造了幾何,，并使現(xiàn)代幾何成為可能,。就像數(shù)學(xué)中所有真正偉大的東西一樣，解析幾何的基本概念簡單到了近乎一目了然的程度,。阿達(dá)瑪也說：坐標(biāo)法的應(yīng)用不僅把幾何上已經(jīng)定義了的曲線轉(zhuǎn)變成方程,，而且從完全相反的角度看,，給越來越復(fù)雜的曲線預(yù)先下了定義，因此越來越一般……數(shù)學(xué)研究對象的全部概念,，發(fā)生了徹底變革,，直接促成這一變革的是笛卡爾，他確實(shí)知道自己的發(fā)明的重要性,，因?yàn)樗f他到目前為止已經(jīng)超過了在它以前的全部幾何學(xué),。

最后說一個題外話。通常,，人們認(rèn)為幾何直觀,、形象，其基本性質(zhì)容易被觀察到,、想象到,；而代數(shù)則是抽象的，它所研究的數(shù)系的結(jié)構(gòu),、性質(zhì),，在本質(zhì)上是逐步歸納、復(fù)合而得到的,。數(shù)學(xué)史上,，“解析”一詞是指這樣的過程：從結(jié)論出發(fā)去尋找論據(jù)，直至到達(dá)一些已知的東西為止,。正因?yàn)?#8220;解析”具有“歸納”“分析”的含義,，在18世紀(jì)，“解析”和“代數(shù)”曾經(jīng)被當(dāng)成同義詞使用,。由于“綜合”是指演繹的表述,，因此從這個意義上，“解析”與“綜合”恰好相反,。不過,，人們看到,，在解析幾何的發(fā)展中,，代數(shù)并不僅僅是一種工具，“它本身就是一個引進(jìn)并研究曲線和曲面的基本方法”,，因此 “解析幾何”一詞含有證明和使用代數(shù)方法的意思,，因而現(xiàn)在把解析幾何與綜合幾何相提并論，不再認(rèn)為一個是發(fā)明的手段,，而另一個是證明的方法了,。

參考文獻(xiàn)：

項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)講義叢書·基礎(chǔ)幾何學(xué)。北京：人民教育出版社,，2004,，164.

注：本文的大部分引文來自《古今數(shù)學(xué)思想（第2冊）》《數(shù)學(xué)—它的內(nèi)容、方法和意義（第一冊）》《什么是數(shù)學(xué)對思想和方法的基本研究》，恕不一一列出,。