【課標(biāo)要求】

【知識(shí)梳理】

1.定義：一般地,，如果是常數(shù),，，那么叫做的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式,，其中.

3.拋物線的三要素：開(kāi)口方向,、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

①的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí),，開(kāi)口向上,；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下,；

相等,，拋物線的開(kāi)口大小,、形狀相同.

②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.

4.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù),，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同,，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同,，只是頂點(diǎn)的位置不同.

5.求拋物線的頂點(diǎn),、對(duì)稱軸的方法

（1）公式法：，∴頂點(diǎn)是,，對(duì)稱軸是直線.

 （2）配方法：運(yùn)用配方的方法,，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,),，對(duì)稱軸是直線.

 （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形,，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn),，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證,，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.

6.拋物線中，的作用

（1）決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小,，這與中的完全一樣.

（2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線,，故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸,；②（即,、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè),；③（即,、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè).

（3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.

 當(dāng)時(shí),，,，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：①,，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ②,與軸交于正半軸,；③,與軸交于負(fù)半軸.

 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí),，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè),，則 .

7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì),、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo),、,，通常選用交點(diǎn)式：.

12.直線與拋物線的交點(diǎn)

（1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ).

（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).

（3）拋物線與軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

      ①有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交,；

      ②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切；

      ③沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離.

（4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn),、1個(gè)交點(diǎn),、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,，設(shè)縱坐標(biāo)為,，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); ②方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn),；③方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn).

（6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為,，由于、是方程的兩個(gè)根,，故

【能力訓(xùn)練】

1．二次函數(shù)y=－x²＋6x－5,，當(dāng)           時(shí)， ,，且隨的增大而減小,。

2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第三象限，則的值為（    ）

A．  B．  C．    D． ．

3．拋物線y=x²－2x＋3的對(duì)稱軸是直線（  ）

  A．x =2   B．x =－2   C．x =－1  D．x =1    

4． 二次函數(shù)y=x²+2x－7的函數(shù)值是8,，那么對(duì)應(yīng)的x的值是（  ）

    A．3    B．5    C．－3和5  D．3和－5    

5．拋物線y=x²－x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（  ）

6．二次函數(shù) 的圖象,，如圖1－2－40所示，根據(jù)圖象可得a,、b,、c與0的大小關(guān)系是（  ）

    A．a＞0，b＜0,，c＜0   B．a＞0，b＞0,，c＞0

    C．a＜0,，b＜0，c＜0   D．a＜0,，b＞0,，c＜0    

7．小敏在今年的校運(yùn)動(dòng)會(huì)跳遠(yuǎn)比賽中跳出了滿意一跳，函數(shù)h=3．5 t－4．9 t²(t的單位s,；h中的單位：m）可以描述他跳躍時(shí)重心高度的變化．如圖,，則他起跳后到重心最高時(shí)所用的時(shí)間是（   ）

   A．0．71s   B．0.70s  C．0.63s   D．0．36s

8．已知拋物線的解析式為y=－（x—2）²＋l，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（  ）

   A．（－2,，1）B．（2,，l）C．（2，－1）D．（1,，2）

9．若二次函數(shù)y=x²－x與y=－x²+k的圖象的頂點(diǎn)重合,，則下列結(jié)論不正確的是（  ）

   A．這兩個(gè)函數(shù)圖象有相同的對(duì)稱軸

   B．這兩個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向相反

   C．方程－x²+k=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根

   D．二次函數(shù)y=－x²＋k的最大值為

10．拋物線y=x² +2x－3與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（  ）

    A．0個(gè)     B．1個(gè)    C．2個(gè)    D．3個(gè)

11．拋物線y=（x—l）² +2的對(duì)稱軸是（  ）

    A．直線x=－1        B．直線x=1  C．直線x=2          D．直線x=2

12．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,，則在“①  a＜0，②b＞0,，③c＜ 0,，④b²－4ac＞0”中，正確的判斷是（  ）

A,、①②③④  B,、④   C、①②③   D,、①④

13．已知二次函數(shù)(a≠0）的圖象如圖所示,，則下列結(jié)論：①a、b同號(hào),；②當(dāng)x=1和x=3時(shí),，函數(shù)值相等；③4a+b=0,；④當(dāng)y=－2時(shí),，x的值只能取0．其中正確的個(gè)數(shù)是（  ）

    A．l個(gè)     B．2個(gè)   C．3個(gè)    D．4個(gè)

14．如圖，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1,，－3）,，則此拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有（）

　　A．最大值1    B．最小值－3     C．最大值－3   D．最小值1

　　15．用列表法畫(huà)二次函數(shù)的圖象時(shí)先列一個(gè)表，當(dāng)表中對(duì)自變量x的值以相等間隔的值增加時(shí),，函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的值依次為：20,，56，110,，182,，274，380,，506,，650．其中有一個(gè)值不正確，這個(gè)不正確的值是（   ）

　　A．506    B．380    C．274    D．182

　　16．將二次函數(shù)y=x²－4x+ 6化為 y=(x—h)²+k的形式：y=___________

　　17．把二次函數(shù)y=x²－4x+5化成y=(x—h)²+k的形式：y=___________

　　18．若二次函數(shù)y=x²－4x+c的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn),，其中c為整數(shù),，則c=__

_________________（只要求寫(xiě)一個(gè)）．

　　19．拋物線y=(x－1)²+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________．

　　20．二次函數(shù)y=x²－2x－3與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為_________.

　　21. 已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（－1,0）、B（3,0）,、C（0,3）三點(diǎn),，

（1）       求拋物線的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并在給定的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這條拋物線,。

（2）       若點(diǎn)（x₀,y₀）在拋物線上,，且0≤x₀≤4,試寫(xiě)出y₀的取值范圍。

　　22．華聯(lián)商場(chǎng)以每件30元購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)每天的銷售量（件）與每件的銷售價(jià)（元）滿足一次函數(shù)y=162－3x,；

（1）寫(xiě)出商場(chǎng)每天的銷售利潤(rùn)（元）與每件的銷售價(jià)（元）的函數(shù)關(guān)系式,；

（2）如果商場(chǎng)要想獲得最大利潤(rùn)，每件商品的銷售價(jià)定為多少為最合適,？最大銷售利潤(rùn)為多少,？

23．某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后,，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過(guò)程．下面的二次函數(shù)圖像（部分）刻畫(huà)了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與銷售時(shí)間t（月）之間的關(guān)系（即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和s與t之間的關(guān)系）．

　　根據(jù)圖像提供的信息,，解答下列問(wèn)題：

　（1）求累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式,；

?。?span>2）求截止到幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元；

?。?span>3）求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元,？

　　24．如圖，有一座拋物線型拱橋,，在正常水位時(shí)水面AB的寬是20米,，如果水位上升3米時(shí)，水面CD的寬為10米,，

　?。?span>1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式,；

　?。?span>2）現(xiàn)有一輛載有救援物質(zhì)的貨車從甲地出發(fā)，要經(jīng)過(guò)此橋開(kāi)往乙地,，已知甲地到此橋千米,，（橋長(zhǎng)忽略不計(jì)）貨車以每小時(shí)40千米的速度開(kāi)往乙地，當(dāng)行駛到1小時(shí)時(shí),，忽然接到緊急通知,，前方連降大雨，造成水位以每小時(shí)米的速度持續(xù)上漲,，（貨車接到通知時(shí)水位在CD處），當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O時(shí),，禁止車輛通行,；試問(wèn)：汽車按原來(lái)速度行駛，能否安全通過(guò)此橋,？若能,，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不能,，要使貨車安全通過(guò)此橋,，速度應(yīng)超過(guò)多少千米,？

　　25.已知直線y＝－2x＋b(b≠0)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B,；一拋物線的解析式為y＝x²－(b＋10)x＋c.

　?、湃粼搾佄锞€過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線y＝－2x＋b上,，試確定這條拋物線的解析式,；

　　⑵過(guò)點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C,，若拋物線的對(duì)稱軸恰好過(guò)C點(diǎn),，試確定直線y＝－2x＋b的解析式.

　　26．已知拋物線y=(1-m)x²+4x-3開(kāi)口向下，與x軸交于A(x₁,0)和B(x₂,0)兩點(diǎn),，其中x_l<x₂．

　　(1)求m的取值范圍,；

　　(2)若x₁²+ x₂²=10，求拋物線的解析式,，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這條拋物線,；

　　27．如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上,，點(diǎn)A在y軸的正方向上,，A( 0, 6 )，D ( 4,，6),，且AB=2.

　　（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo),；

　?。?span>2）求經(jīng)過(guò)A、B,、D三點(diǎn)的拋物線的解析式,；

　　（3）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,，使得S_△PBD=S_梯形ABCD,。若存在，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo),，若不存在,，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　28．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)小組接受學(xué)校的一項(xiàng)任務(wù)：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長(zhǎng)為6０米的木柵欄圍成一塊生物園地,，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案使生物園的面積盡可能大,。

(1)活動(dòng)小組提交如圖的方案。設(shè)靠墻的一邊長(zhǎng)為 x 米，則不靠墻的一邊長(zhǎng)為(60－2x)米,，面積y= (60－2x) x米²．當(dāng)x=15時(shí),，y_最大值 =450米²。

(2)機(jī)靈的小明想：如果改變生物園的形狀,，圍成的面積會(huì)更大嗎,？請(qǐng)你幫小明設(shè)計(jì)兩個(gè)方案，要求畫(huà)出圖形,，算出面積大?。徊⒄页雒娣e最大的方案．