二次函數(shù)y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象

　　考點掃描

　　1．會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象．

　　2．能利用圖象或配方法確定拋物線的開口方向及對稱軸,、頂點的位置．

　　3．會根據(jù)已知圖象上三個點的坐標(biāo)求出二次函數(shù)的解析式．

　　名師精講

　　1．二次函數(shù)y=ax²,，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k,，y=ax²+bx+c(各式中,，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同,，它們的頂點坐標(biāo)及對稱軸如下表： 

　　當(dāng)h>0時,，y=a(x-h)²的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到，
　　當(dāng)h<0時,，則向左平行移動|h|個單位得到．
　　當(dāng)h>0,k>0時,，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位,，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象,；
　　當(dāng)h>0,k<0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位,，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象,；
　　當(dāng)h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位,，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象,；
　　當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位,，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象,；
　　因此，研究拋物線 y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象,，通過配方,，將一般式化為y=a(x-h)²+k的形式，可確定其頂點坐標(biāo),、對稱軸,，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

　　2．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上,，當(dāng)a<0時開口向下,，對稱軸是直線x=，頂點坐標(biāo)是()．

　　3．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0),，若a>0,，當(dāng)x≤時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x≥時，y隨x的增大而增大．若a<0,，當(dāng)x≤時,，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥時,，y隨x的增大而減?。?/p>

　　4．拋物線y=ax²+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點：

　　(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為(0,，c),；

　　(2)當(dāng)△=b²-4ac>0,，圖象與x軸交于兩點A(x₁,0)和B(x₂,0)，其中的x₁,x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x₂-x₁|=．

　　當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個交點,；

　　當(dāng)△<0．圖象與x軸沒有交點．當(dāng)a>0時,，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時,，都有y>0,；當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方,，x為任何實數(shù)時,，都有y<0．

　　5．拋物線y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x=時,，y_{最小(大)值}=．

　　頂點的橫坐標(biāo),，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標(biāo),，是最值的取值．

　　6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

　　(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x,、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax²+bx+c(a≠0)．

　　(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時,，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．

　　(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)時,，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．

　　7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目,。因此,，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)．

中考典例

　　1．(北京西城區(qū))拋物線y=x²-2x+1的對稱軸是(　 )

　　(A)直線x=1　　　 (B)直線x=-1　　 (C)直線x=2　　　 (D)直線x=-2

　　考點：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對稱軸．

　　評析：因為拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸方程是：y=-,，將已知拋物線中的a=1,，b=-2代入，求得x=1,，故選項A正確．

　　另一種方法：可將拋物線配方為y=a(x-h)²+k的形式,，對稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=(x-1)²,，所以對稱軸x=1,，應(yīng)選A．

　　2．( 北京東城區(qū))有一個二次函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點：

　　甲：對稱軸是直線x=4,；

　　乙：與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)都是整數(shù),；

　　丙：與y軸交點的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3．

　　請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)解析式：　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

　　考點：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的求法

　　評析：設(shè)所求解析式為y=a(x-x₁)(x-x₂),，且設(shè)x₁＜x₂,，則其圖象與y軸兩交點分別是A(x₁，0),，B(x₂,，0),，與y軸交點坐標(biāo)是(0，ax₁x₂).

　　∵拋物線對稱軸是直線x=4,，

　　∴x₂-4=4 - x₁即：x₁+ x₂=8　　　　①

　　∵S_△ABC=3,，∴(x₂- x₁)·|a x₁ x₂|= 3,，

　　即：x₂- x₁=　　　　②

　?、佗趦墒较嗉訙p,，可得：x₂=4+，x₁=4-

　　∵x₁,，x₂是整數(shù),，ax₁x₂也是整數(shù)，∴ax₁x₂是3的約數(shù),，共可取值為：±1,，±3。

　　當(dāng)ax₁x₂=±1時,，x₂=7,，x₁=1，a=±

　　當(dāng)ax₁x₂=±3時,，x₂=5,，x₁=3，a=±

　　因此,，所求解析式為：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)

　　即：y=x²-x+1 或y=-x²+x-1 或y=x²-x+3 或y=-x²+x-3

　　說明：本題中,，只要填出一個解析式即可，也可用猜測驗證法,。例如：猜測與x軸交點為A(5,，0)，B(3,，0),。再由題設(shè)條件求出a，看C是否整數(shù),。若是,，則猜測得以驗證，填上即可,。

　　5．( 河北省)如圖13-28所示,，二次函數(shù)y=x²-4x+3的圖象交x軸于A、B兩點,，交y軸于點C,，則△ABC的面積為(　 )

　　A,、6　　　　B、4　　　　C,、3　　　　D,、1

　　考點：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象及性質(zhì)的運用。

　　評析：由函數(shù)圖象可知C點坐標(biāo)為(0,，3),，再由x²-4x+3=0可得x₁=1，x₂=3所以A,、B兩點之間的距離為2,。那么△ABC的面積為3，故應(yīng)選C,。

圖13-28　　

　　6．( 安徽省)心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y=-0.1x²+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大,，表示接受能力越強,。

　　(1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強,？x在什么范圍內(nèi),，學(xué)生的接受能力逐步降低？

　　(2)第10分時,，學(xué)生的接受能力是什么,？

　　(3)第幾分時，學(xué)生的接受能力最強,？

　　考點：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì),。

　　評析：將拋物線y=-0.1x²+2.6x+43變?yōu)轫旤c式為：y=-0.1(x-13)²+59.9，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知開口向下,，當(dāng)x≤13時,，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>13時,，y隨x的增大而減小,。而該函數(shù)自變量的范圍為：0≤x≤30，所以兩個范圍應(yīng)為0≤x≤13,；13≤x≤30,。將x=10代入，求函數(shù)值即可,。由頂點解析式可知在第13分鐘時接受能力為最強,。解題過程如下：

　　解：(1)y=-0.1x²+2.6x+43=-0.1(x-13)²+59.9

　　所以，當(dāng)0≤x≤13時，學(xué)生的接受能力逐步增強,。

　　當(dāng)13＜x≤30時,，學(xué)生的接受能力逐步下降。

　　(2)當(dāng)x=10時,，y=-0.1(10-13)²+59.9=59,。

　　第10分時，學(xué)生的接受能力為59,。

　　(3)x=13時,，y取得最大值，

　　所以,，在第13分時，學(xué)生的接受能力最強,。

　　9．( 河北省)某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品．據(jù)市場分析,，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克,；銷售單價每漲1元,，月銷售量就減少10千克．針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答以下問題：

　　(1)當(dāng)銷售單價定為每千克55元時,，計算月銷售量和月銷售利潤,；

　　(2)設(shè)銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元,，求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍),；

　　(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元,，銷售單價應(yīng)定為多少,？

　　解：(1)當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，月銷售量為：500–(55–50)×10=450(千克),，所以月銷售利潤為
:(55–40)×450=6750(元)．

　　(2)當(dāng)銷售單價定為每千克x元時,，月銷售量為：[500–(x–50)×10]千克而每千克的銷售利潤是:(x–40)元，所以月銷售利潤為：

　　y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x²+1400x–40000(元),，

　　∴y與x的函數(shù)解析式為：y =–10x²+1400x–40000．

　　(3)要使月銷售利潤達到8000元,，即y=8000，∴–10x²+1400x–40000=8000,，

　　即：x²–140x+4800=0,，

　　解得：x₁=60，x₂=80．

　　當(dāng)銷售單價定為每千克60元時,，月銷售量為：500–(60–50)×10=400(千克),，月銷售成本為：
40×400=16000(元)；

　　當(dāng)銷售單價定為每千克80元時，月銷售量為：500–(80–50)×10=200(千克),，月銷售單價成本為：
40×200=8000(元),；

　　由于8000＜10000＜16000，而月銷售成本不能超過10000元,，所以銷售單價應(yīng)定為每千克80元．