第18講 最大最小
同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中經(jīng)常能碰到求最大最小或最多最少的問題,，這一講就來講解這個(gè)問題。
例1兩個(gè)自然數(shù)的和是15,，要使兩個(gè)整數(shù)的乘積最大,，這兩個(gè)整數(shù)各是多少？
分析與解：將兩個(gè)自然數(shù)的和為15的所有情況都列出來,，考慮到加法與乘法都符合交換律,，有下面7種情況：
15=1+14，1×14=14,；
15=2+13,，2×13=26；
15=3+12,，3×12=36,；
15=4+11，4×11=44,；
15=5+10,，5×10=50；
15=6+9,，6×9=54,；
15=7+8，7×8=56,。
由此可知把15分成7與8之和,，這兩數(shù)的乘積最大。
結(jié)論1如果兩個(gè)整數(shù)的和一定,，那么這兩個(gè)整數(shù)的差越小,，他們的乘積越大。特別地，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí),，他們的乘積最大,。
例2比較下面兩個(gè)乘積的大小：
a=57128463×87596512,，
b=57128460×87596515,。
分析與解：對(duì)于a，b兩個(gè)積,，它們都是8位數(shù)乘以8位數(shù)，盡管兩組對(duì)應(yīng)因數(shù)很相似,，但并不完全相同,。直接計(jì)算出這兩個(gè)8位數(shù)的乘積是很繁的。仔細(xì)觀察兩組對(duì)應(yīng)因數(shù)的大小發(fā)現(xiàn),，因?yàn)?7128463比57128460多3,，87596512比87596515少3，所以它們的兩因數(shù)之和相等,，即
57128463+87596512=57128460+87596515,。
因?yàn)閍的兩個(gè)因數(shù)之差小于b的兩個(gè)因數(shù)之差，根據(jù)結(jié)論1可得a＞b,。
例3用長36米的竹籬笆圍成一個(gè)長方形菜園,，圍成菜園的最大面積是多少？
分析與解：已知這個(gè)長方形的周長是36米,，即四邊之和是定數(shù),。長方形的面積等于長乘以寬。因?yàn)?/p>
長+寬=36÷2=18（米）,，
由結(jié)論知,，圍成長方形的最大的面積是9×9=81（米2）。
例3說明,，周長一定的長方形中,，正方形的面積最大。
例4兩個(gè)自然數(shù)的積是48,，這兩個(gè)自然數(shù)是什么值時(shí),，它們的和最小,？
分析與解：48的約數(shù)從小到大依次是1,，2，3,，4,，6，8，12,，16,，24，48,。
所以,，兩個(gè)自然數(shù)的乘積是48，共有以下5種情況：
48=1×48,，1+48=49,；
48=2×24，2+24=26,；
48=3×16,，3+16=19；
48=4×12,，4+12=16,；
48=6×8，6+8=14,。
兩個(gè)因數(shù)之和最小的是6+8=14,。
結(jié)論2兩個(gè)自然數(shù)的乘積一定時(shí)，兩個(gè)自然數(shù)的差越小,，這兩個(gè)自然數(shù)的和也越小,。
例5要砌一個(gè)面積為72米2的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是自然數(shù),，這個(gè)豬圈的圍墻最少長多少米,？
解：將72分解成兩個(gè)自然數(shù)的乘積，這兩個(gè)自然數(shù)的差最小的是9-8=1,。由結(jié)論2,，豬圈圍墻長9米、寬8米時(shí),，圍墻總長最少,，為（8+9）×2=34（米）。
答：圍墻最少長34米,。
例6把17分成幾個(gè)自然數(shù)的和,，怎樣分才能使它們的乘積最大？
分析與解：假設(shè)分成的自然數(shù)中有1,，a是分成的另一個(gè)自然數(shù),，因?yàn)?×a＜1+a，也就是說,，將1+a作為分成的一個(gè)自然數(shù)要比分成1和a兩個(gè)自然數(shù)好,，所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)該有1,。
如果分成的自然數(shù)中有大于4的數(shù)，那么將這個(gè)數(shù)分成兩個(gè)最接近的整數(shù),，這兩個(gè)數(shù)的乘積大于原來的自然數(shù),。例如，5=2+3＜2×3,，8=3+5＜3×5,。也就是說，只要有大于4的數(shù),，這個(gè)數(shù)就可以再分,，所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)該有大于4的數(shù)。
如果分成的自然數(shù)中有4,，因?yàn)?=2+2=2×2,，所以可以將4分成兩個(gè)2。
由上面的分析得到,，分成的自然數(shù)中只有2和3兩種。因?yàn)?+2+2=6,，2×2×2=8,，3+3=6，3×3=9,，說明雖然三個(gè)2與兩個(gè)3的和都是6,，但兩個(gè)3的乘積大于三個(gè)2的乘積，所以分成的自然數(shù)中最多有兩個(gè)2,，其余都是3,。由此得到，將17分為五個(gè)3與一個(gè)2時(shí)乘積最大,，為3×3×3×3×3×2=486,。
由例6的分析得到：
結(jié)論3把一個(gè)數(shù)拆分成若干個(gè)自然數(shù)之和，如果要使這若干個(gè)自然數(shù)的乘積最大,，那么這些自然數(shù)應(yīng)全是2或3,，且2最多不超過兩個(gè)。
例7把49分拆成幾個(gè)自然數(shù)的和,，這幾個(gè)自然數(shù)的連乘積最大是多少,？
解：根據(jù)結(jié)論3，由49=3×15+2+2,，所以最大的積是
