自然數(shù)按照能被多少個不同的自然數(shù)整除可以分為三類：
第一類：只能被一個自然數(shù)整除的自然數(shù)，這類數(shù)只有一個,，就是1,。
第二類：只能被兩個不同的自然數(shù)整除的自然數(shù)。因為任何自然數(shù)都能被1和它本身整除,，所以這類自然數(shù)的特征是大于1,，且只能被1和它本身整除。這類自然數(shù)叫質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）,。例如,，2，3,，5,，7，…
第三類：能被兩個以上的自然數(shù)整除的自然數(shù),。這類自然數(shù)的特征是大于1,，除了能被1和它本身整除外，還能被其它一些自然數(shù)整除,。這類自然數(shù)叫合數(shù),。例如，4,，6,，8，9,，15,，…
上面的分類方法將自然數(shù)分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1,，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù),。
例1 1～100這100個自然數(shù)中有哪些是質(zhì)數(shù)？
分析與解：先把前100個自然數(shù)寫出來，得下表：
1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù),。
2是質(zhì)數(shù)，留下來,，后面凡能被2整除的數(shù)都是合數(shù),，都劃去；
3是質(zhì)數(shù),，留下來,，后面凡能被3整除的數(shù)都是合數(shù)，都劃去,；
類似地,，把5留下來，后面凡是5的倍數(shù)的數(shù)都劃去,；
把7留下來,，后面凡是7的倍數(shù)的數(shù)都劃去。
經(jīng)過以上的篩選,，劃去的都是合數(shù),，余下26個數(shù)，除1外,，剩下的25個都是質(zhì)數(shù),。這樣，我們便得到了100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表：
2,，3,，5，7,，11,，13，17,，19,，23，29,，31,，37，41,，
43,，47，53,，59,，61，67，71,，73,，79，83,，89,，97。
這些質(zhì)數(shù)同學(xué)們應(yīng)當(dāng)熟記,！
細(xì)心的同學(xué)可能會注意到,，以上只劃到7的倍數(shù)，為什么不繼續(xù)劃去11,，13,，…的倍數(shù)呢？事實上,，這些倍數(shù)已包含在已劃去的倍數(shù)中,。例如，100以內(nèi)11的倍數(shù)應(yīng)該是
11×A≤100（其中A為整數(shù)）,，
顯然,，A只能取2，3,，4,，5，6,，7,，8，9,。因為4=22,，6=2×3，8=23,，9=32,，所以A必是2，3,，5,，7之一的倍數(shù)。由此推知,，11的倍數(shù)已全部包含在2,，3，5,，7的倍數(shù)中,，已在前面劃去了,。
要判斷一個數(shù)N是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，根據(jù)合數(shù)的定義,，只要用從小到大的自然數(shù)2,，3，4,，5,，6，7,，8，…,，N-1去除N,，其中只要有一個自然數(shù)能整除N，N就是合數(shù),，否則就是質(zhì)數(shù),。但這樣太麻煩，因為除數(shù)太多,。能不能使試除的數(shù)少一點(diǎn)呢,？由例1知，只要用從小到大的質(zhì)數(shù)去除N就可以了,。例2給出的判別方法,，可以使試除的數(shù)進(jìn)一步減少。
例2 判斷269,，437兩個數(shù)是合數(shù)還是質(zhì)數(shù),。
分析與解：對于一個不太大的數(shù)N，要判斷它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù),，可以先找出一個大于N且最接近N的平方數(shù)K2,，再寫出K以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。如果這些質(zhì)數(shù)都不能整除N,，那么N是質(zhì)數(shù),；如果這些質(zhì)數(shù)中有一個能整除N，那么N是合數(shù),。
因為269＜172=289,。17以內(nèi)質(zhì)數(shù)有2，3,，5,，7，11,，13,。根據(jù)能被某些數(shù)整除的數(shù)的特征，個位數(shù)是9，所以269不能被2,，5整除,；2+6+9=17，所以269不能被3整除,。經(jīng)逐一判斷或試除知,，這6個質(zhì)數(shù)都不能整除269，所以269是質(zhì)數(shù),。
因為437＜212=441,。21以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3,，5,，7，11,，13,，17，19,。容易判斷437不能被2,，3，5,，7,，11整除，用13,，17,，19試除437，得到437÷19=23,，所以437是合數(shù),。
對比一下幾種判別質(zhì)數(shù)與合數(shù)的方法，可以看出例2的方法的優(yōu)越性,。判別269,，用2～268中所有的數(shù)試除，要除267個數(shù),；用2～268中的質(zhì)數(shù)試除,，要除41個數(shù)；而用例2的方法,，只要除6個數(shù),。
例3 判斷數(shù)1111112111111是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？
分析與解：按照例2的方法判別這個13位數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù),，當(dāng)然是很麻煩的事,，能不能想出別的辦法呢,？根據(jù)合數(shù)的意義，如果一個數(shù)能夠?qū)懗蓛蓚€大于1的整數(shù)的乘積,，那么這個數(shù)是合數(shù),。
根據(jù)整數(shù)的意義，這個13位數(shù)可以寫成：
1111112111111
=1111111000000+1111111
=1111111×（1000000+1）
=1111111×1000001,。
由上式知,，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合數(shù),。
這道例題又給我們提供了一種判別一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的方法,。
例4 判定298+1和298+3是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？
分析與解：這道題要判別的數(shù)很大,，不能直接用例1,、例2的方法。我們在四年級學(xué)過an的個位數(shù)的變化規(guī)律,，以及an除以某自然數(shù)的余數(shù)的變化規(guī)律。2n的個位數(shù)隨著n的從小到大,，按照2,，4，8,，6每4個一組循環(huán)出現(xiàn),，98÷4=24……2，所以298的個位數(shù)是4,，（298+1）的個位數(shù)是5,，能被5整除，說明（298+1）是合數(shù),。
（298+3）是奇數(shù),，不能被2整除； 298不能被3整除,，所以（298+3）也不能被3整除,；（298+1）能被5整除，（298+3）比（298+1）大2,，所以（298+3）不能被5整除,。再判斷（298+3）能否被7整除。首先看看2n÷7的余數(shù)的變化規(guī)律：
因為98÷3的余數(shù)是2,，從上表可知298除以7的余數(shù)是4,，（298+3）除以7的余數(shù)是4+3=7，7能被7整除,，即（298+3）能被7整除,，所以（298+3）是合數(shù),。
例5 已知A是質(zhì)數(shù)，（A+10）和（A+14）也是質(zhì)數(shù),，求質(zhì)數(shù)A,。
分析與解：從最小的質(zhì)數(shù)開始試算。
A=2時,，A+10=12,，12是合數(shù)不是質(zhì)數(shù)，所以A≠2,。
A=3時,，A+10=13，是質(zhì)數(shù),；A+14=17也是質(zhì)數(shù),，所以A等于3是所求的質(zhì)數(shù)。
A除了等于3外,，還可以是別的質(zhì)數(shù)嗎,？因為質(zhì)數(shù)有無窮多個，所以不可能一一去試,，必須采用其它方法,。
A，（A+1）,，（A+2）除以3的余數(shù)各不相同,，而（A+1）與（A+10）除以3的余數(shù)相同，（A+2）與（A+14）除以3的余數(shù)相同,，所以A,，（A+10），（A+14）除以3的余數(shù)各不相同,。因為任何自然數(shù)除以3只有整除,、余1、余2三種情況,，所以在A,，（A+10），（A+14）中必有一個能被3整除,。能被3整除的質(zhì)數(shù)只有3,，因為（A+10），（A+14）都大于3,，所以A=3,。也就是說，本題唯一的解是A=3,。
練習(xí)10
1.現(xiàn)有1,，3,，5，7四個數(shù)字,。
（1）用它們可以組成哪些兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)（數(shù)字可以重復(fù)使用）,？
（2）用它們可以組成哪些各位數(shù)字不相同的三位質(zhì)數(shù)？
2.a,，b,，c都是質(zhì)數(shù)，a＞b＞c,，且a×b+c=88,，求a，b,，c,。
3.A是一個質(zhì)數(shù)，而且A+6,，A+8,，A+12，A+14都是質(zhì)數(shù),。試求出所有滿足要求的質(zhì)數(shù)A,。
5.試說明：兩個以上的連續(xù)自然數(shù)之和必是合數(shù)。
6.判斷266+388是不是質(zhì)數(shù),。
7.把一個一位數(shù)的質(zhì)數(shù)a寫在另一個兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)b后邊，得到一個三位數(shù),，這個三位數(shù)是a的87倍,，求a和b。
