第3章 正弦電流電路（轉(zhuǎn)載）

(sinusoidal current circuit)

本章主要介紹：

①     正弦量的三要素及正弦量的相量表示方法,；

②     正弦電流電路中的單一元件（電阻,、電感、電容）,；

③     RLC串,、并聯(lián)電路的電壓和電流關(guān)系及功率；

④     一般正弦電流電路的計(jì)算

3.1正弦量（sinusoidal function）

正弦量：大小和方向隨時間按正弦規(guī)律變化的電流,、電壓,，簡稱交流（AC）。

一．正弦量的三要素（three-element sinusoidal function）

正弦電壓的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

波形如圖所示,其三要素：振幅 ,、角頻率 和初相位 ,。

1．振幅（最大值）：正弦量的變化幅度。反映正弦量變化大小的參數(shù)。

2．頻率（或角頻率,，或周期）-----反映正弦交流電變化快慢的參數(shù),。

頻率（ ）：正弦量在單位時間內(nèi)變化的循環(huán)數(shù)，SI單位：赫茲（ ）,。

常用千赫（KH_Z）,、兆赫（MH_Z）等。其換算關(guān)系為

周期（ ）：正弦量每變化一個循環(huán)所需要的時間,，SI單位：秒（s）,。

角頻率（ ）：單位時間內(nèi)正弦量變化的弧度數(shù)，SI單位：弧度/秒（rad/s）,。

,、ω、T之間的關(guān)系：   

我國工業(yè)電力網(wǎng)的供電頻率為 ,， ,， 。

3．初相位：正弦交流電初始狀態(tài)的參數(shù),。

相位角： 稱為正弦量的相位角,，簡稱相位。

初相位（初相角）： 時的相位角,，簡稱：初相,。

規(guī)定：

二．相位差（phase difference）

1.相位差：兩個同頻率正弦量的相位之差，即為初相位之差,。

例如

 

相位差為      

①超前： ,， 超前 角 。

②滯后： ,， 滯后 角 ,。

③同相： （ ）， 和 同相,；即 和 同時達(dá)到最大,。

④反相： （ 為奇數(shù)）， 和 反相,。

⑤正交： （ 為奇數(shù)）,， 和 正交。

結(jié)論：兩個同頻率正弦量的計(jì)時起點(diǎn)變化時,，它們各自的初相位會跟著變化,，但它們的相位差不變。

三．有效值（virtual value）

1.有效值定義：把一交變電流 和一直流電流 分別通過兩個阻值相同的電阻R,，如果在一個周期內(nèi),，它們產(chǎn)生的熱量相等,，便稱此 為 的有效值。

表示式為             

2.正弦量有效值與最大值關(guān)系

即                      或

注：在實(shí)際應(yīng)用中,，通常用有效值來表示交流電的大小,。例如，電表測出的交流電壓,；電氣設(shè)備的額定值,；家庭用電的交流電壓220V等等。

3.2正弦量的相量表示法

（phasor representation of sinusoidal function）

一．復(fù)數(shù)（complex function）

1．復(fù)數(shù)的表達(dá)方式及其轉(zhuǎn)換

復(fù)數(shù)常用的表達(dá)方式有：公式法和圖形法,。

①公式法：代數(shù)式,、三角函數(shù)式、指數(shù)式,、極坐標(biāo)形式等,。

ⅰ.代數(shù)式為             、 為實(shí)數(shù)     實(shí)部,，

虛部,，

ⅱ.三角函數(shù)式為       為 的模， 為 的輻角,。

轉(zhuǎn)換關(guān)系為

            （歐拉公式 ）

ⅲ.指數(shù)形式     

ⅳ.極坐標(biāo)形式   

②圖形法

2．復(fù)數(shù)的運(yùn)算

復(fù)數(shù)的運(yùn)算符合代數(shù)運(yùn)算中的交換律,、結(jié)合律和分配律。

①復(fù)數(shù)的加,、減運(yùn)算

已知： ,，

則：

②復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算

已知： ,，

則：

③共軛復(fù)數(shù)：實(shí)部相同,，虛部的數(shù)值相同而符號相反的兩個復(fù)數(shù)，記作 ,。

二．用相量表示正弦量（phasor representation of sinusoidal function）

復(fù)指數(shù)函數(shù) ,， ，則

顯然有

所以正弦量可以用上述形式的復(fù)指數(shù)函數(shù)描述,，使正弦量與其虛部一一對應(yīng)起來,。

設(shè)正弦電流

而一個復(fù)指數(shù)函數(shù)

即

    

正弦電流的振幅相量，記為    

正弦電流的有效值相量為      

相量圖：相量在復(fù)平面上的幾何圖形,。

三．同頻率正弦量的和與差

（sum and difference of same frequency sinusoidal function）

同頻率正弦量相加、相減,、微分,、積分、或與常數(shù)相乘,，其頻率不變,，結(jié)果仍然是一個同頻率的正弦量,。因而同頻率正弦量的加、減,、微分,、積分等運(yùn)算，可化為它們的相量形式進(jìn)行,。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3正弦電流電路中的電阻(resistor in sinusoidal current circuit)

在正弦電流電路中,，仍然適用歐姆定律和基爾霍夫定律。

一．電壓和電流關(guān)系（relation between voltage and current）

如圖關(guān)聯(lián)參考方向下,，設(shè) ,則電流為

結(jié)論：①電壓和電流為同頻率的正弦量,；

②電阻上的電壓和電流同相位；

③有效值關(guān)系：

④相量關(guān)系： ,。其中： ,，

⑤歐姆定律的相量形式：

二．功率(power)

1．瞬時功率

設(shè) ，則瞬時功率 為

由于 ,，所以 ,，即電阻是一個耗能元件。

2．平均功率

平均功率：瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值（又稱為有功功率）,，用 表示,。即

它代表了電路實(shí)際消耗的功率大小,其SI單位：瓦特（W）。

例 將220V的交流電壓加在額定值為220V,、25W的白熾燈上,，求白熾燈的電阻大小和流過白熾燈的電流。

解：                 

出流過白熾燈的電流   

3.4正弦電流電路中的電感(inductor in sinusoidal current circuit)

一.電壓和電流關(guān)系（relation between voltage and current）

如圖關(guān)聯(lián)參考方向下,，設(shè)電感線圈中電流

則電感兩端的感應(yīng)電壓 為

結(jié)論：①電壓和電流為同頻率的正弦量,；

②電感上的電壓超前電流 ；

③有效值關(guān)系： = , 感抗（ ）,；

④相量關(guān)系： ,。其中： ， ,；

⑤感抗隨頻率變化：頻率越低,，感抗 就越小,；直流時,，電感相當(dāng)于短路。感抗具有阻礙電流通過的性質(zhì),。

二.功率(power)

1.瞬時功率

設(shè) ,，則瞬時功率為

結(jié)論：①在第一、三的1/4周期（ 和 同相）,，電感吸收電源的電能（ ）,，并轉(zhuǎn)換成磁場能量儲存在電感線圈中,；

②第二、四的1/4周期（ 和 反相）,，電感將儲存在電感線圈中的磁場能量釋放出來（ ）,，還給電源。

③電感在電路中起能量交換作用,。電感是一個儲能元件,，它不消耗能量。

2.平均功率      

3.無功功率：反映電感在電路中與電源進(jìn)行的能量交換的大小,，即瞬時功率的最大值 ,。用 代表。單位：乏（Var）或千乏（kVar）,。

 

3.5正弦電流電路中的電容(capacitor in sinusoidal current circuit)

一.電壓和電流關(guān)系（relation between voltage and current）

如圖關(guān)聯(lián)參考方向下,，設(shè)電容端電壓為

則電容中的電流為

結(jié)論：①在純電容電路中，電壓和電流為同頻率的正弦量,；

②電容中的電流超前端電壓 ,；

③有效值關(guān)系： = , 容抗（ ）；

④相量關(guān)系： ,。其中： ,， ；

⑤容抗隨頻率變化：頻率越低,，容抗 就越大,；直流時，電容相當(dāng)于開路,。容抗具有“通交流,、隔直流”的作用。

二．功率(power)

1.瞬時功率

設(shè) ,，則瞬時功率為

結(jié)論：①在第一,、三的1/4周期（ 和 同相），電容吸收電源的電能（ ）,，并轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容器中,；

②第二、四的1/4周期（ 和 反相）,，電容將儲存在電容器中的電場能量釋放出來（ ）,，還給電源。

③電容在電路中起能量交換作用,。電容是一個儲能元件,，它不消耗能量。

2.平均功率      

3.無功功率：反映電容元件在電路中進(jìn)行能量交換的大小,，用瞬時功率的最大值 ,，即無功功率 表示；其單位：乏（Var）或千乏（kVar）,。

3.6 串聯(lián)電路（ series connection circuit）

一．電壓和電流關(guān)系（relation between voltage and current）

圖(a)為 串聯(lián)電路,，選取電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向,，并設(shè)電流為

則端口電壓的解析式為

(a)                      (b)                                  (c)

用相量表示,，如圖（b）所示，得

即        -------歐姆定律的相量形式

其中                 ------電壓有效值關(guān)系

 -------------總電壓與電流的相位差電電壓三角形： ,、 ,、 組成一個直角三角形。

二．復(fù)阻抗（complex-number impedance）

RLC串聯(lián)電路中

或                      

其中,， 稱為電路的復(fù)阻抗,，單位：歐（ ）；

稱為電抗,，單位：歐（ ）,；

為復(fù)阻抗 的模，也稱為阻抗,；

為復(fù)阻抗 的輻角,，也稱為阻抗角。

在RLC串聯(lián)電路中,，由于電流處處相等,，將電壓三角形的每邊除以 ，得出新的三邊（ ）,，構(gòu)成阻抗三角形,。阻抗三角形與電壓三角形相似。

電源電壓與電流的相位差即為阻抗角,，可根據(jù)電壓三角形或阻抗三角形求出,，即

例 一個內(nèi)阻R=12Ω、電感L=160mH的線圈,，與C=125μf的電容串聯(lián)后,，接到電壓 的電源上，求電路中的電流瞬時值表達(dá)式,。

解：線圈與電容串聯(lián)后有

電流的瞬時值為     

三．電路的三種情況（three kind state of circuit）

1. ,，即 ，電路呈感性,；

2. ,，即 ，電路呈容性,；

3. ,，即 ,，電源電壓與電流同相，,，電路呈電阻性,。這種情況又稱為諧振。

(a) 呈容性特性                    (b) 呈阻性特性

例 日光燈電路如圖所示,，已知燈管電阻 為480歐姆,，鎮(zhèn)流器的電阻 為30歐姆，電感為1.5亨,，當(dāng)電路加上220V,、50Hz的交流電壓后，求電路中的電流,、燈管兩端的電壓 ,、以及鎮(zhèn)流器兩端的電壓 。

解：電路的等效阻抗為

 

電路中的電流    

燈管兩端的電壓  

鎮(zhèn)流器兩端的電壓 

3.7 并聯(lián)電路（ parallel connection circuit）

一．電壓和電流關(guān)系（relation between voltage and current）

并聯(lián)電路如圖（a）所示,，并設(shè)電壓為

相量表示為       

電路中電流        

即        --------歐姆定律的相量形式,。

由相量圖可得         

(a)                              (b)                              (c)

二．復(fù)導(dǎo)納（complex-number admittance）

RLC并聯(lián)電路中

或             

其中，  稱為電路的復(fù)導(dǎo)納,，單位：西門子（S）,；

（ ）稱為電路的電導(dǎo)，單位：西門子（S）,；

稱為電納,，單位：西門子（S），為容納 （ ）與感納 （ ）之差,；

 為復(fù)導(dǎo)納 的模,，也稱為導(dǎo)納；

 為復(fù)導(dǎo)納 的輻角,，也稱為導(dǎo)納角,。反映的是電路總電流超前電壓的角度，即

例 在RLC并聯(lián)電路中,，已知R=20Ω,，L=50mH，C=40μF,，當(dāng)該電路接入220V,、50Hz的交流

電路時，求電路的復(fù)導(dǎo)納為多少,？寫出電路中總電流瞬時值表達(dá)式,。

解：電路中的復(fù)導(dǎo)納

=

設(shè)電壓的初相位為0⁰，得

電流的瞬時值表達(dá)式為  

三．電路的三種情況（three kind state of circuit）

1. ，即 ,，總電流滯后電壓,，電路呈感性；

2. ,，即 ,，總電流超前電壓，電路呈容性,；

3. ，即 ,，總電流 最小,，電路呈電阻性。這種情況又稱為RLC并聯(lián)電路的諧振,。

(a) 呈感性特性                (b) 呈容性特性                 (c）呈阻性特性

3.8復(fù)阻抗,、復(fù)導(dǎo)納及其等效變換

(impedance、admittance and equivalent switch)

一．復(fù)阻抗的串,、并聯(lián)（series connection and parallel connection of impedance）

1．復(fù)阻抗的串聯(lián)

①等效復(fù)阻抗： 

②分壓公式：

復(fù)阻抗的串聯(lián)電路                     復(fù)阻抗的并聯(lián)電路

2．復(fù)阻抗的并聯(lián)

①等效復(fù)導(dǎo)納： 

②分流公式：

③兩個阻抗并聯(lián)時,，分流公式

二．復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納的等效變換

（equivalent switch between impedance and admittance）

 

復(fù)阻抗                       復(fù)導(dǎo)納

對同一電路來說，復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納互為倒數(shù),，即

 或

1.已知電路的復(fù)阻抗,，求等效的復(fù)導(dǎo)納

已知：

則等效的復(fù)導(dǎo)納為

或                    

即              或 不變

2.已知電路的復(fù)導(dǎo)納，求等效的復(fù)阻抗

已知

則等效的復(fù)阻抗為

或                    

即          或 不變時

3.9幾種實(shí)際電氣器件的電路模型

（circuit model of electric elements）

實(shí)際的電氣器件根據(jù)其特點(diǎn),，可以用一些理想的電路元件的組合來等效,。

一．電阻器（resistor）

線繞電阻

固定

合成電阻（電阻值較大）

1.電阻（器）分類                        線繞電阻

可變 （如電位器）

合成電阻

2.導(dǎo)體電阻的定義：

3.趨膚效應(yīng)：當(dāng)頻率較高時，交流電流在導(dǎo)體截面的分布不再均勻,，而是越靠近導(dǎo)線中間,，電流密度越小,；越靠近導(dǎo)線表面,，電流密度越大。

因此,，在高頻電路中,，為減小趨膚效應(yīng)對導(dǎo)線電阻的影響，導(dǎo)線常做成管狀,、或?qū)⒍喙苫ハ嘟^緣的導(dǎo)線緊密地絞合在一起使用,。

 

(a)線繞電阻               (b)合成電阻         (c)可變電阻      (d)電位器

(a)合成可變電阻             (b)滑動電位器

* 當(dāng)直流電流或低頻電流通過線繞電阻器件時，電流在導(dǎo)體截面上的分布是均勻的,。

二.電感器（inductor）

1.電感（器）分類

固定                            鐵的,、鋼的

①分類                      ②芯子分類

可變                            塑料、空氣

 

螺線纏繞電感

③形狀    環(huán)形電感

基片電感

(a)螺線纏繞電感          (b)環(huán)形電感       (c)基片電感    (d)固定電感   (e)可變電感

2.電感的等效電路

由導(dǎo)線繞制而成的電感器，它除了含有一定的電感L外,，還含有導(dǎo)線的損耗（稱為線圈的損耗電阻R）,，同時在線圈的匝間還存在電容效應(yīng)（稱為線圈的分布電容C），因而,，在不同頻率的正弦激勵作用下,，電路模型是不同的。

(a)            (b)           (c)           (d)            (e)             (f)

圖(a)：一般情況,。

圖(b)：直流,。ω=0， ,， ,。

圖(c)：較低頻率。

圖(d)：頻率較高（中頻）,。

圖(e)：頻率相當(dāng)高,。線匝之間的電容不能忽略

圖(f)：頻率足夠高。感抗遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于容抗,，可認(rèn)為電感處于開路狀態(tài),。

三．電容器（capacitor）

1.電容（器）分類

滌綸電容器（重量輕、容量穩(wěn)定）

固定 

①分類           電解電容器（容量最大）

調(diào)諧電容器（微調(diào)電容）

可變

玻璃柱電容器

 

空氣,、陶瓷,、滌綸

②介質(zhì)材料分類

紙、云母,、聚苯乙烯

(a)滌綸電容器    (b)陶瓷電容器     (c)電解電容器        (d)調(diào)諧電容器      (e)薄膜調(diào)諧電容器

2.電容器的用途：隔直流,、通交流、移相,、存儲能量,、啟動電機(jī)和抑制噪聲等。

3.電容器的等效電路

當(dāng)正弦電壓作用于電容器時,，由于絕緣介質(zhì)有能量損耗（包括極化損耗和漏電損耗）,，因而，實(shí)際的電容器與理想電容元件不同,，一般等效為一個理想的電容元件與漏電阻的并聯(lián),。

通常，電容器的漏電阻很大,，電容器等效為一個理想電容即純電容,。

3.10正弦電流電路中的功率（power of sinusoidal current circuit）

一.瞬時功率（instantaneous power）

設(shè)無源二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓、電流分別為 

則無源二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率為

計(jì)及 ,，且設(shè) ,，上式為

交流電路的瞬時功率                         功率三角形

分析：① ，二端網(wǎng)絡(luò)從外電路吸收功率，當(dāng) ,、 瞬時值同號時,；

② ，二端網(wǎng)絡(luò)向外電路提供功率,，當(dāng) ,、 瞬時值異號時；

③瞬時功率有正有負(fù)的現(xiàn)象說明在外電路和二端網(wǎng)絡(luò)之間有能量的往返交換,。

④在一個循環(huán)內(nèi),， 的部分大于 的部分，即平均來看,，二端網(wǎng)絡(luò)是從外電路吸收功率的,，這是由于二端網(wǎng)絡(luò)中存在著消耗能量的電阻。

二．有功功率,、無功功率和視在功率

（active power、reactive power and apparent power）

1.有功功率：有功功率即為平均功率,。

或  

：功率因數(shù)

結(jié)論：①有功功率即為瞬時功率的恒定值部分,，它與電壓、電流有效值及它們間的相位差的余弦成正比,。

②正弦電流電路中,，總的有功功率等于電路各部分有功功率之和。

2．無功功率

定義正弦電流電路的無功功率Q為

正弦電流電路中,，總的無功功率等于電路各部分無功功率之和,；即

3．視在功率

視在功率是用來表示電氣設(shè)備的容量大小的，用S表示,。其定義為

單位：伏安（ ）,。

有功功率、無功功率和視在功率的關(guān)系

,、 ,、 、

*有功功率,、無功功率和視在功率構(gòu)成一個直角三角形,，稱為功率三角形。

三.復(fù)功率（complex power）

復(fù)功率 定義：

可知：         ,，

* 注意：①復(fù)功率與阻抗相似,，它是一個復(fù)數(shù)量。并不代表正弦量,，因此不能作為相量對待,。

②對正弦電路，因有功功率和無功功率是守恒的，所以復(fù)功率也守恒,，即在整個電路中某些支路吸收的復(fù)功率應(yīng)該等于其余支路發(fā)出的復(fù)功率,。

例 某一電路由三個復(fù)阻抗串聯(lián)構(gòu)成，其中 ,， ,， ，電源電壓 ,，求

（1）電路中的電流,；

（2）各阻抗上的電壓；

（3）電路的有功功率,、無功功率,、視在功率及電路的功率因數(shù)。

解：（1）電路總的復(fù)阻抗為

電路中的電流為

(2)各阻抗上的電壓為

（3）   

,、 ,、 、

四．功率因數(shù)及功率因數(shù)的改善（power factor and power-factor improved）

1.功率因數(shù)的定義

,，

2.改善功率因數(shù)原因

① 低     電源設(shè)備的容量不能充分利用,。（ 一定， 小）,。

② 低     在供電線路上能量損耗和電壓降低較大,，引起負(fù)載電壓的降低，影響負(fù)載的正常工作,。（ 一定,， 大）。

可見：提高用電的功率因數(shù),，能使電源設(shè)備的容量得到合理的利用,，減少輸電電能損耗，又能改善供電的電壓質(zhì)量,。

3.改善功率因數(shù)方法及原理：在感性負(fù)載兩端并上一個合適的補(bǔ)償電容,。

例 一臺電動機(jī)的功率為1.2kW，接到220V的工頻電源上,，其工作電流為10A,，試求：（1）電動機(jī)的功率因數(shù)；

（2）若在電動機(jī)兩端并上一只80μF的電容器,，此時電路的功率因數(shù)為多少,？

解：（1）根據(jù)題意，電動機(jī)的有功功率及電路的視在功率為

電動機(jī)的功率因數(shù)為   

（2）電動機(jī)兩端并上電容器后,，如圖（a）所示,，相量圖如圖(b)所示,。

(a)                                    (b)

根據(jù)相量圖得

所以         

電路的功率因數(shù)變?yōu)?span lang=EN-US>         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.11一般正弦電流電路的計(jì)算

（analysis of the sinusoidal current circuit）

一.最大功率傳輸（transmission of most power）

電路中的一個重要內(nèi)容是：如何將信號功率最大限度傳遞給下一級電路——最大功率的傳輸。

根據(jù)戴維南定理,，任何有源二端網(wǎng)絡(luò)都可以用一個有源支路來替代,。因而，電路的功率傳輸問題,，轉(zhuǎn)化為電源輸出功率的問題,。

(a)                            (b)

1.負(fù)載獲得最大功率的條件及最大功率

如圖所示，若 ,，其復(fù)阻抗 ,，負(fù)載 ，則負(fù)載吸收的有功功率為

令 ,， ,，可求出負(fù)載獲得的最大功率。

條件：        ,， 或 

最大功率為：       

例 如圖電路中,，已知 ， ,，問負(fù)載為何值時,，可獲得最大功率。若 變?yōu)?/span> ,，則負(fù)載上的最大功率有何變化？

解：當(dāng) 時,，負(fù)載可獲得最大功率,。最大功率為

當(dāng) 變?yōu)?/span> 時，負(fù)載為 ,，獲得最大功率為

即            不變

二．正弦電流電路的一般分析方法與計(jì)算

前面介紹的節(jié)點(diǎn)電壓法,、網(wǎng)孔電流法、疊加定理以及戴維南定理等電路的分析方法,，均可用于正弦電流電路,，不同的是，正弦電流電路中的電壓和電流用相量來表示,，電路元件用復(fù)阻抗來表示,。

例 用節(jié)點(diǎn)電壓法求圖示電路中電流 的瞬時值表達(dá)式。已知

,， , ,。

解：各支路的復(fù)導(dǎo)納分別為

電壓 、 的相量形式為  

選擇b為參考結(jié)節(jié)點(diǎn),，則a點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓為

所以           

例 在圖示電路中,，已知 ,， ， ,， ,， ， ,，用網(wǎng)孔電流法求電流 的瞬時值表達(dá)式,。

解：設(shè)網(wǎng)孔電流為 、 ,、 ,，其繞行方向如圖所示

網(wǎng)孔電壓方程分別為

 

即

聯(lián)立求解方程得

例 兩臺相同的交流發(fā)電機(jī)并聯(lián)運(yùn)行，同時為負(fù)載 供電,如圖所示,。已知發(fā)電機(jī)的電源電壓 ,，內(nèi)阻為 ，負(fù)載 ,，用戴維南定理求出負(fù)載上的電壓 與電流 ,，以及負(fù)載消耗的功率大小。

(a) 流發(fā)電機(jī)供電電路                (b)戴維南等效電路

解：根據(jù)戴維南定理,，求開路電壓和等效阻抗

所以             

負(fù)載中電流       

負(fù)載端電壓       

負(fù)載消耗的功率