一．力對(duì)點(diǎn)之矩 (簡(jiǎn)稱為力矩)
1.力對(duì)點(diǎn)之矩的概念
為了描述力對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，引入力對(duì)點(diǎn)之矩的概念,。
力對(duì)點(diǎn)之矩用MO（F）來表示,，即
Mo(F) = ± Fd
一般地，設(shè)平面上作用一力F,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O——矩心,，O點(diǎn)到力作用線的垂直距離d稱為力臂。
Mo(F) = ± 2△OAB
力對(duì)點(diǎn)之矩是一代數(shù)量,，式中的正負(fù)號(hào)用來表明力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向,。矩心不同，力矩不同,。
規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),，力矩取正號(hào)；反之,，取負(fù)號(hào),。
力矩的單位是Nmm。
由力矩的定義可知：
（1）若將力F沿其作用線移動(dòng),，則因?yàn)榱Φ拇笮?、方向和力臂都沒有改變，所以不會(huì)改變?cè)摿?duì)某一矩心的力矩,。
（2）若F=0,，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0,，F(xiàn)≠0,，則d=0，即力F通過O點(diǎn),。
力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心,。
2.合力矩定理
設(shè)在物體上A點(diǎn)作用有平面匯交力系F1、F2,、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得,。
計(jì)算力系中各力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)O的矩,，令OA=l，則
由上圖可以看出,，合力F對(duì)O點(diǎn)的矩為
據(jù)合力投影定理,，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
兩邊同乘以l，得
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩,，等于其所有分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和,。
3,、力對(duì)點(diǎn)之矩的求法（力矩的求法)
（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩,。 注意：力臂d是矩心到力作用線的距離,，即力臂必須垂直于力的作用線。
例2-3 如圖所示,，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束,，力F作用于C點(diǎn)，其方向角為α,，又知OB=l,，BC=h，求力F對(duì)O點(diǎn)的力矩,。
解 （1）利用力矩的定義進(jìn)行求解
如圖,，過點(diǎn)O作出力F作用線的垂線，與其交于a點(diǎn),則力臂d即為線段oa ,。再過B點(diǎn)作力作用線的平行線,，與力臂的延長(zhǎng)線交于b點(diǎn)，則有
（2）利用合力矩定理求解
將力F分解成一對(duì)正交的分力
力F的力矩就是這兩個(gè)分力對(duì)點(diǎn)O的力矩的代數(shù),。即
二．力偶及其性質(zhì)
1.力偶的定義
在工程實(shí)踐中常見物體受兩個(gè)大小相等,、方向相反、作用線相互平行的力的作用,，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng),。例如，用手?jǐn)Q水龍頭,、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤等,。
力偶——大小相等、方向相反,、作用線相互平行的兩力,，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶。記作(F,，F(xiàn)')
力偶作用面——兩個(gè)力所在的平面
力偶臂——兩個(gè)力作用線之間的垂直距離d
力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向
力偶只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)或改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài),。怎樣度量？
力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng),，用力對(duì)點(diǎn)的矩度量,。
設(shè)物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F(xiàn)'),，該力偶對(duì)任一點(diǎn)O的矩為
MO(F)+MO(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于點(diǎn)O是任意選取的,，故
力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積
（與矩心位置無關(guān)）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd
規(guī)定：力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí),，力偶矩為正,，反之為負(fù),。力偶矩的單位是Nmm。
力偶同力矩一樣,，是一代數(shù)量,。Mo(F) = ± Fd
力偶的三要素——大小、轉(zhuǎn)向和作用平面
2.力偶的性質(zhì)
（1）力偶無合力,。
力偶不能用一個(gè)力來等效,，也不能用一個(gè)力來平衡?？梢詫⒘土ε伎闯山M成力系的兩個(gè)基本物理量,。
（2）力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，恒等于其力偶矩,。
（3）力偶的等效性
力偶的等效性——作用在同一平面的兩個(gè)力偶,，若它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同,，則這兩個(gè)力偶是等效的,。
力偶的等效條件：
1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)物體的作用。即力偶對(duì)物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無關(guān),。經(jīng)驗(yàn)：
不論將力偶加在A,、B位置還是C、D位置,，對(duì)方向盤的作用效應(yīng)不變,。
2）只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短,，而不會(huì)改變力偶對(duì)物體的作用,。經(jīng)驗(yàn)：
平面力偶系的合成與平衡
平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個(gè)力偶。
1.平面力偶系的合成
例 兩個(gè)力偶的合成
2.平面力偶系的平衡
平面力偶系合成的結(jié)果為一個(gè)合力偶,，因而要使力偶系平衡,，就必須使合力偶矩等于零，
例2-4 梁AB 受一主動(dòng)力偶作用,，其力偶矩M=100Nm ,，梁長(zhǎng)l=5m ，梁的自重不計(jì),，求兩支座的約束反力,。
解 （1）以梁為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析并畫出受力圖
FA必須與FB大小相等,、方向相反、作用線平行,。
（2）列平衡方程
例2-5 電機(jī)軸通過聯(lián)軸器與工件相連接,，聯(lián)軸器上四個(gè)螺栓A,、B、C,、D的孔心均勻地分布在同一圓周上,，見圖2-2-6，此圓周的直徑d=150mm ,，電機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩M=25kNm,，求每個(gè)螺栓所受的力。
解 以聯(lián)軸器為研究對(duì)象,。
作用于聯(lián)軸器上的力有電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶矩M,，四個(gè)螺栓的約束反力，假設(shè)四個(gè)螺栓的受力均勻,，則F1=F2=F3=F4=F,，其方向如圖所示。由平面力偶系平衡條件可知,，F(xiàn)1與F3 ,、F2與F4組成兩個(gè)力偶，并與電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶矩M平衡,。據(jù)平面力偶系的平衡方程
2.3 平面一般力系
平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi),，既不相交于一點(diǎn)又不完全平行。
上圖起重機(jī)橫梁AB受平面一般力系的作用
三．平面一般力系的簡(jiǎn)化
1.力的平移定理
力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動(dòng),，而不改變其對(duì)剛體的作用效應(yīng),。
問題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置？
將作用在剛體上A點(diǎn)的力F平移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)O,，
附加力偶,，其力偶矩為
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
上式表示，附加力偶矩等于原力F對(duì)平移點(diǎn)的力矩,。于是,，在作用于剛體上平移點(diǎn)的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應(yīng)就與力F作用在A點(diǎn)時(shí)等效,。
力的平移定理——作用于剛體上的力,，可平移到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須附加一力偶,，其附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩,。
根據(jù)力的平移定理，可以將力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶,；也可以將一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力,。
2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化
F'R——平面一般力系的主矢，其作用線過簡(jiǎn)化中心點(diǎn)O
α——主矢與x軸的夾角
Mo——平面一般力系的主矩
主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和,。
（由于每一個(gè)附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩,，所以主矩等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩的代數(shù)和,，作用在力系所在的平面上。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化,，得到一個(gè)主矢 F'R 和一個(gè)主矩Mo ,， 主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡(jiǎn)化中心上,。其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選擇無關(guān),。
主矩等于原力系各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān),。
3. 簡(jiǎn)化結(jié)果分析
平面一般力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化,，得到一個(gè)主矢F'R和一個(gè)主矩Mo，但這不是力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果,，如果進(jìn)一步分析簡(jiǎn)化結(jié)果,，則有下列情況：F'R =0,Mo≠0
F'R ≠0,Mo=0
F'R ≠0,Mo≠0
F'R =0,Mo=0(力系平衡)
（1）F'R ≠0,Mo≠0,原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶。據(jù)力的平移定理,，這個(gè)力和力偶還可以繼續(xù)合成為一個(gè)合力FR,，其作用線離O點(diǎn)的距離為d=Mo/F'R。
(2) F'R ≠0,Mo=0,原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力,。主矢F'R 即為原力系的合力FR,，作用于簡(jiǎn)化中心。
(3)F'R =0,Mo≠0,原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶,，其矩等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化
中心的主矩,。主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)。因?yàn)榱ε紝?duì)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩,，與矩心位置無關(guān),。
(4)F'R =0,Mo=0，原力系是平衡力系,。
四 平面一般力系的平衡
1.平面一般力系的平衡條件
平面一般力系平衡的必要與充分條件為：
F'R =0,Mo=0,， 即
平面一般力系的平衡方程為
可求解出三個(gè)未知量
2.平面平行力系的平衡條件
平面平行力系的平衡方程為
平面平行力系的平衡方程,也可用兩個(gè)力矩方程的形式，即
—式中A,、B兩點(diǎn)連線不能與各力的作用線平行
平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程,，因此只能求出兩個(gè)未知量。
例2-6 塔式起重機(jī)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖所示,。設(shè)機(jī)架重力G=500kN,，重心在C點(diǎn)，與右軌相距a=1.5m,。最大起吊重量P=250kN,，與右軌B最遠(yuǎn)距離l=10m。平衡物重力為G1，與左軌A相距x=6m,，二軌相距b=3m,。試求起重機(jī)在滿載與空載時(shí)都不至翻倒的平衡重物G1的范圍。
解：取起重機(jī)為研究對(duì)象,。是一平面平行力系
1)要保障滿載時(shí)機(jī)身平衡而不向右翻倒，則這些力必須滿足平衡方程,，在此狀態(tài)下,，A點(diǎn)將處于離地與不離地的臨界狀態(tài)，即有FNA=0,。這樣求出的G1值是它應(yīng)有的最小值,。
平衡方程：
∑Fy=0 -G1min-G-P+FNB=0
∑MB(F)=0 G1min(x+b)-Ga-Pl=0
2)要保障空載時(shí)機(jī)身平衡而不向左翻倒，則這些力必須滿足平衡方程,，在此狀態(tài)下,，B點(diǎn)將處于離地與不離地的臨界狀態(tài)，即有FNB=0,。這樣求出的G1值是它應(yīng)有的最大值,。
因此，平衡重力G1之值的范圍為
3.物體系統(tǒng)的平衡條件
物系——由多個(gè)構(gòu)件通過一定的約束組成的系統(tǒng),。
若整個(gè)物系處于平衡時(shí),，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。因此在求解有關(guān)物系的平衡問題時(shí),，既可以以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象,，也可以取單個(gè)構(gòu)件為研究對(duì)象。對(duì)于每一種選取的研究對(duì)象,，一般情況下都可以列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程,。3n
物系外力——系統(tǒng)外部物體對(duì)系統(tǒng)的作用力
物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力
物系的外力和內(nèi)力只是一個(gè)相對(duì)的概念，它們之間沒有嚴(yán)格的區(qū)別,。當(dāng)研究整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí),，由于其內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)、相互抵消,，因此可以不予考慮,。當(dāng)研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問題時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對(duì)它們的作用力就又成為這一研究對(duì)象的外力,，必須予以考慮,。
例2-7 如圖所示，為一三鉸拱橋,。左右兩半拱通過鉸鏈C聯(lián)接起來,，通過鉸鏈A、B與橋基聯(lián)接。已知G=40kN,，P=10kN,。試求鉸鏈A、B,、C三處的約束反力,。
解 （1）取整體為研究對(duì)象畫出受力圖，并建立如圖2-3-6b所示坐標(biāo)系,。列解平衡方程
（2）取左半拱為研究對(duì)象畫出受力圖,，并建立如圖所示坐標(biāo)系。列解平衡方程
（3）取整體為研究對(duì)象,。列解平衡方程
解平面力系平衡問題的方法和步驟：
①明確題意,，正確選擇研究對(duì)象。
②分析研究對(duì)象的受力情況,，畫出受力圖,。這是解題的關(guān)鍵一步，尤其在處理物系平衡問題時(shí),，每確定一個(gè)研究對(duì)象就必須單獨(dú)畫出它的受力圖,，不能將幾個(gè)研究對(duì)象的受力圖都畫在一起，以免混淆,。另外,，還要注意作用力、反作用力,，外力,、內(nèi)力的區(qū)別。在受力圖上內(nèi)力不畫出,。
③建立坐標(biāo)系,。建立坐標(biāo)系的原則應(yīng)使每個(gè)方程中的未知量越少越好，最好每個(gè)方程中只有一個(gè)未知量,。
④列解平衡方程,，求未知量。在計(jì)算結(jié)果中,，負(fù)號(hào)表示預(yù)先假設(shè)力的指向與實(shí)際指向相反,。在運(yùn)算中應(yīng)連同符號(hào)一起代入其它方程中繼續(xù)求解。
⑤討論并校核計(jì)算結(jié)果,。
物體系統(tǒng)中每個(gè)物體的受力分析方法和單個(gè)物體分析方法相同,，但應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
1.物系受力分析時(shí)往往需要畫整體受力圖
2.畫單個(gè)物體受力圖時(shí)，注意作用與反作用力的關(guān)系,。
3.注意判斷二力構(gòu)件（二力桿）,。二力構(gòu)件一般不作為單個(gè)物體畫獨(dú)立受力圖。
平面力系平衡
解平面力系平衡問題的方法和步驟：
①明確題意，正確選擇研究對(duì)象,。
②分析研究對(duì)象的受力情況,，畫出受力圖。這是解題的關(guān)鍵一步,，尤其在處理物系平衡問題時(shí),，每確定一個(gè)研究對(duì)象就必須單獨(dú)畫出它的受力圖。要注意作用力,、反作用力,，外力、內(nèi)力的區(qū)別,。在受力圖上內(nèi)力不畫出。
③建立坐標(biāo)系,。建立坐標(biāo)系的原則應(yīng)使每個(gè)方程中的未知量越少越好,，最好每個(gè)方程中只有一個(gè)未知量。
④列解平衡方程,，求未知量,。在計(jì)算結(jié)果中，負(fù)號(hào)表示預(yù)先假設(shè)力的指向與實(shí)際指向相反,。在運(yùn)算中應(yīng)連同符號(hào)一起代入其它方程中繼續(xù)求解,。
⑤討論并校核計(jì)算結(jié)果。
例1 組合梁AC和CE用鉸鏈C相連,，A端為固定端,，E端為活動(dòng)鉸鏈支座。受力如圖所示,。已知： l=8m,，F(xiàn)=5kN，均布載荷集度q=2.5 kN/m,，力偶矩的大小M= 5kN·m,，試求固端A、鉸鏈C和支座E的反力,。
解： 1.取CE段為研究對(duì)象,，受力分析如圖。
