一,、口訣： 
乘五除四九加日,， 
雙月間隔三十天。 
一二自加整少一,， 
三五七八十尾前,。 

二、舉例說明： 
例一：1996年1月16日 
（96×5＋96÷4＋9＋16）÷60＝8余49,，49即為六十甲子序數(shù),。9對(duì)應(yīng)天干壬,，49除12余1對(duì)應(yīng)地支子，對(duì)應(yīng)干支為“壬子”,。 

例二：1997年2月16日 
（97×5＋97÷4＋9＋16＋30＋2）÷60＝9余26,，26即為六十甲子序數(shù)。6對(duì)應(yīng)天干己,，26除12余2對(duì)應(yīng)地支丑,，對(duì)應(yīng)干支為“己丑”。 

例三：1998年3月16日 
（98×5＋98÷4＋9＋16）÷60＝8余59,，對(duì)應(yīng)干支為“壬戌”,。 

例四：1999年4月16日 
（99×5＋99÷4＋9＋16＋30＋1）÷60＝9余35，對(duì)應(yīng)干支為“戊戌”,。 

例五：2000年7月16日 
（100×5＋100÷4＋9＋16＋2）÷60＝9余12,，對(duì)應(yīng)干支為“乙亥”。 

例六：20001年10月16日 
（101×5＋101÷4＋9＋16＋4＋30）÷60＝9余49,，對(duì)應(yīng)干支為“壬子”,。  

三：注解：第二句逢雙月外加30。第三句中的“整少一”,，為能被4整除之年一二月份比其他三年都要少加一,；第四句反映的是大月規(guī)律，3月不加,，4,、5月加1，6,、7月加2,，8月加3，9,、10月加4,，11、12月加5,。
 

    在介紹求年干支和日干支的公式前,，先把干支的特點(diǎn)介紹一下。干支是天干和地支的組合,。天干有十個(gè),，即甲、乙,、丙,、丁、戊、己,、庚,、辛、壬,、癸,；地支有十二個(gè)，即子,、丑,、寅、卯,、辰,、巳、午,、未,、申、酉,、戌,、亥。天干和地支從“甲子”開始,，按順序逐一相配,，各用到最后一個(gè)時(shí)，再從第一個(gè)開始繼續(xù)相配,，就形成了六十個(gè)干支,，也稱“六十花甲子”。為什么是六十個(gè)干支呢,？這個(gè)從數(shù)學(xué)上很容易回答,。根據(jù)干支的構(gòu)成條件，其循環(huán)周期必然是天干數(shù)和地干數(shù)的最小公倍數(shù),。而60正是10和12的最小公倍數(shù),。 

　　如果我們把“甲子”編為1號(hào)，“乙丑”編為2號(hào),，這樣編下去，就可以得到一個(gè)干支 
和序號(hào)的對(duì)照表,，如下： 

1.甲子 2.乙丑 3.丙寅 4.丁卯 5.戊辰 6.己巳 7.庚午 8.辛未 
9.壬申 10.癸酉 11.甲戌 12.乙亥 13.丙子 14.丁丑 15.戊寅 16.己卯 
17.庚辰 18.辛巳 19.壬午 20.癸未 21.甲申 22.乙酉 23.丙戌 24.丁亥 
25.戊子 26.己丑 27.庚寅 28.辛卯 29.壬辰 30.癸巳 31.甲午 32.乙未 
33.丙申 34.丁酉 35.戊戌 36.己亥 37.庚子 38.辛丑 39.壬寅 40.癸卯 
41.甲辰 42.乙巳 43.丙午 44.丁未 45.戊申 46.己酉 47.庚戌 48.辛亥 
49.壬子 50.癸丑 51.甲寅 52.乙卯 53.丙辰 54.丁巳 55.戊午 56.己未 
57.庚申 58.辛酉 59.壬戌 60.癸亥 

　　細(xì)心觀察這張表,，不難發(fā)現(xiàn)，由序號(hào)得到對(duì)應(yīng)干支是很容易的,，序號(hào)除以10的余數(shù)就是天干的序數(shù)（如果余數(shù)是0,，則為最后一個(gè)天干癸），序號(hào)除以12的余數(shù)就是地支的序 數(shù)（如果余數(shù)是0，則為最后一個(gè)地支亥）,。比如37號(hào)干支,，因?yàn)?7 mod 10=7（mod表示取余數(shù)），對(duì)應(yīng)的天干是庚,，37 mod 12=1,，對(duì)應(yīng)的地支是子，所以37號(hào)干支就是庚子,。顯然,，一個(gè)整數(shù)除以10的余數(shù)就是它的個(gè)位數(shù)，這就使求天干更方便了,。 

　　而由干支推它的序號(hào),，也不困難。這其實(shí)就是一個(gè)同余方程組的求解問題,，我們用初等數(shù)論中的中國剩余定理就可以解決,。比如要算戊午的序號(hào)是多少，根據(jù)上面由序號(hào)得到對(duì)應(yīng)干支的原理,，很容易得到如下方程組： 

{ x mod 10 = 5 
{ x mod 12 = 7． 

其中x是待求的干支序號(hào),。根據(jù)中國剩余定理，有： 

x ≡ 6 * 5 - 5 * 7 (mod 60) = 55,， 

即戊午的序號(hào)是55．這和上面的對(duì)照表的是一致的,。一般地，若天干的序號(hào)為m,，地支的序號(hào)為n,，則干支的序號(hào)為： 

x ≡ 6m - 5n (mod 60) (1) 

簡單點(diǎn)說，如果6m-5n的結(jié)果是正數(shù),，這個(gè)數(shù)就是干支的序號(hào),；如果是負(fù)數(shù)，把它加上60就是干支的序號(hào),。 

　　了解了干支及其序號(hào)的相互推算,，下面我們先來介紹年干支的求算。需要說明的是,，干支紀(jì)年紀(jì)的是農(nóng)歷年,，而不是公歷年。但因?yàn)檗r(nóng)歷年的歲首和公歷年的歲首相隔較近,，使農(nóng)歷年總是和某一公歷年的大部分重合,，因此，通常也用公歷年的年份表示和它大部分重合的農(nóng)歷年,。這樣我們就很容易給出農(nóng)歷年的干支序號(hào)為： 

x = (Y-3) mod 60,， (2) 

其中Y是年份,。得到了干支序號(hào)x，就可以求出相應(yīng)的干支來,。比如2004年的干支序號(hào)： 

x = (2004-3) mod 60 = 2001 mod 60 = 21,， 

21 mod 10=1，天干為甲,，21 mod 12=9,，地支為申，因此,，2004年是甲申年,。 

　　細(xì)心觀察，我們可以發(fā)現(xiàn),，其實(shí)用Y-3直接除以10,，就可以得到天干，用Y-3直接除以12,，就可以得到地支,。這是因?yàn)?nbsp;

x = (Y-3) mod 60 

等價(jià)于 

Y-3 = 60 * n + x， 

其中n是Y-3除以60的商數(shù),。等式兩邊同時(shí)除以10,，余數(shù)也必然相等。而右邊第一項(xiàng)是60的倍數(shù),，自然也是10的倍數(shù),，能夠被10整數(shù)，于是Y-3除以10的余數(shù)就必然等于x除以10的余數(shù),。 

因此,，其實(shí)我們完全用不著先求干支的序號(hào)，而可以分別求天干和地支,，合起來就是干支,，這樣就減少了一步運(yùn)算。而對(duì)于年份的天干,，同樣只須看末尾一位,。末尾為4的年份的天干總是甲，末尾為5的年份的天干總是乙……依次類推,。 

　　再來看日干支的求算,。我們可以仿照星期的求算，得到一個(gè)比較直觀的計(jì)算日干支的公式如下： 

G = (Y-1)*5 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D + 15,， (3) 

其中Y是年份,，D是累積天數(shù)，[...]表示取商數(shù),，也就是只取計(jì)算結(jié)果的整數(shù)部分,。把G除以60，余數(shù)就是干支的序號(hào),?；蛘甙袵除以10或12，可以直接得到日天干和日地支,。不過,，和形式相似的求星期的公式一樣，這個(gè)公式還不夠簡煉,，特別是第一項(xiàng)(Y-1)*5,，在Y為四位數(shù)年份時(shí)，計(jì)算出來的結(jié)果是一個(gè)較大的四位數(shù)或五位數(shù),，口算很不方便,。 

　　我們用推導(dǎo)蔡勒公式的辦法，可以改進(jìn)這個(gè)公式,。先來看和年份有關(guān)的部分的改進(jìn),。我們知道，按公歷的置閏規(guī)則,，一個(gè)世紀(jì)的總天數(shù)可能是36524天,，或36525天。如果這個(gè)世紀(jì)中末尾為00的年份是閏年,，這個(gè)世紀(jì)就只有36525天,；否則就只有36524天。我們不妨稱有36524天的世紀(jì)為“平世紀(jì)”,，有36525天的世紀(jì)為“閏世紀(jì)”,。對(duì)于平世紀(jì)，因?yàn)?nbsp;
36524 mod 60 = 44,， 

所以,，每過一個(gè)平世紀(jì)，同一天的干支就向后推進(jìn)44個(gè)序號(hào),。同樣,，每過一個(gè)閏世紀(jì)，同一天的干支就向后推進(jìn)45個(gè)序號(hào),。這就使我們很容易得到一個(gè)計(jì)算每個(gè)世紀(jì)第一年（年份末尾為01）3月1日的公式： 

G = 44C + [C/4] + 15,， (4) 

其中C是世紀(jì)數(shù)減一。 

而計(jì)算任一年3月1日的干支的公式也可以很快得到： 

G = 44C + [C/4] + 5(y-1) + [y/4] + 15,， 

即 

G = 44C + [C/4] + 5y + [y/4] + 10,， (5) 

其中y是年份后兩位數(shù)字。 

　　下面我們?cè)倭谐雒吭绿鞌?shù)： 

月　　份　1月　2月 　3月　4月　5月　6月　7月　8月　9月　10月　11月　12月 
--------------------------------------------------------------------------- 
天　　數(shù)　31   28(29) 31  30    31   30   31   31   30   31   30     31 
減30后的 
剩余天數(shù) 1 -2(-1) 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 

如果把1月和2月看成是上一年的13月和14月,，同樣可以得到下面的式子： 

D’ ≡ [3*(M+1) / 5] + d - 2 (mod 10) (6) 

及 

D’ ≡ [3*(M+1) / 5] + d - 2 + i (mod 12) (奇數(shù)月i=0,，偶數(shù)月i=6),， (7) 

其中，D’是從3月1日開始算起的累積天數(shù),，M是月份,，d是日數(shù)。把(6)(7)兩式和(5)式合起來,，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?，就得到了?jì)算公歷任意一天的天干和地支的公式： 

g = 4C + [C/4] + 5y + [y/4] + [3*(M+1) / 5] + d - 3； (8) 
z = 8C + [C/4] + 5y + [y/4] + [3*(M+1) / 5] + d + 7 + i (奇數(shù)月i=0,，偶數(shù)月i=6) 
(9) 

如果先求得了g,，那么 

z = g + 4C + 10 + i (奇數(shù)月i=0，偶數(shù)月i=6)． (10) 

g的個(gè)位數(shù)就是天干序號(hào),，z除以12的余數(shù)就是地支序號(hào),。這里需要再次強(qiáng)調(diào)：1月和2月是當(dāng)做上一年的13月和14月來算的，因此C和y也要按上一年的年份來取值,。 

　　我們可以把(8)(9)兩式和蔡勒公式對(duì)比一下： 

W = -2C + [C/4] + y + [y/4] + [13*(M+1) / 5] + d - 1,， 

可以看出它們的形式非常相似，區(qū)別僅僅是幾個(gè)常數(shù)的不同,。 

　　盡管現(xiàn)在中國已經(jīng)不用干支紀(jì)日了,，但有時(shí)還是需要計(jì)算日干支的。比如,，歷法有所謂“三伏”和“入梅”“出梅”,，都和日干支有關(guān)。三伏包括初伏,、中伏和末伏,，是指夏天最熱的一段時(shí)間，入梅和出梅是指江南一帶梅雨季節(jié)的開始和結(jié)束,，本來是和氣候有關(guān)的用語,。但因?yàn)楣糯鷽]有準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)三伏和入出梅的時(shí)間,，所以就在歷書上硬性規(guī)定幾個(gè)日子作為三伏開始和入出梅的日子,，這樣確定一個(gè)大致的日期以備參 
考。現(xiàn)在雖然有了比較準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào),，但三伏和入出梅作為一種傳統(tǒng)歷法,，仍然流傳下來。 

　　歷法規(guī)定夏至之后的第三個(gè)庚日為初伏開始,，共十天,；第四個(gè)庚日為中伏開始，十天或二十天,；立秋之后的第一個(gè)庚日為末伏開始,，共十天,。中伏的長度之所以不固定，是因?yàn)橄闹?、立秋的日期和庚日的日期是逐年浮?dòng)的,，立秋之后的第一個(gè)庚日可能是夏至之后的第五個(gè)庚日，也可能是第六個(gè)庚日,。如果是前者，中伏就只有十天,；如果是后者,，中伏就長達(dá)二十天。注意如果夏至當(dāng)天是庚日,，夏至之后第一個(gè)庚日是指夏至之后第十天,，而 
不是夏至當(dāng)天，這時(shí)初伏第一天就是夏至之后第三十天,。同樣,，如果立秋當(dāng)天是庚日，末伏第一天就是立秋之后第十天,，而不是立秋當(dāng)天,。入梅則是指芒種之后的第一個(gè)丙日，出梅是指小暑之后的第一個(gè)未日,，也有同樣的規(guī)定,。 

　　知道了這些，我們可以算一下2004年的初伏,、中伏和末伏都是什么日子,。這需要先知道夏至和立秋的日子。如果知道夏至是6月21日,，立秋是8月7日,，那么運(yùn)用公式(8)，夏至這天的g為： 

g = 4 * 20 + [20/4] + 5*4 + [4/4] + [3*(6+1) / 5] + 21 - 3 
= 80 + 5 + 20 + 1 + 4 + 21 - 3 
= 128,， 

個(gè)位數(shù)是8,，天干是辛。夏至之后第三個(gè)庚日就是夏至之后第29天,，也就是7月20日,，這天也就是初伏第一天。中伏第一天則是7月30日,。同樣可算出立秋這天的g為： 

g = 4 * 20 + [20/4] + 5*4 + [4/4] + [3*(8+1) / 5] + 7 - 3 
= 80 + 5 + 20 + 1 + 5 + 7 - 3 
= 115,， 

是個(gè)戊日。立秋之后第一個(gè)庚日就是立秋之后第2天,，也即8月9日,，這天就是末伏第一天,。由此也可知，2004年的中伏只有十天,。同樣可以由芒種和小暑兩節(jié)氣的日期,，算出2004年的入梅日和出梅日分別是6月6日和7月15日。 

　　反過來,，知道了年干支和日干支,，求相應(yīng)的年份和日期就相對(duì)麻煩一點(diǎn)了。因?yàn)楦芍茄h(huán)使用的,，所以必須先知道欲求對(duì)應(yīng)年份和日期的干支是屬于哪一次循環(huán),。比如我們預(yù)先用公式(2)算出來1864、1924,、1984年都是甲子年,，如果要知道戊戌變法是哪一年，首先要確定它是十九世紀(jì)末的事情,，也即是屬于1864年開始的這一個(gè)循環(huán)里,。那么，我們用公式(1)可以算出來戊戌的序號(hào)是35,，于是戊戌年就是(1864-1)+35=1898年,。之所以要先減一，是因?yàn)榧鬃拥男蛱?hào)為1,，需要把這個(gè)序號(hào)先減去,。 

　　至于日干支，因?yàn)楣艜锏娜崭芍Э偸呛湍?、月配合使用的,，所以不難確定它屬于哪個(gè)循環(huán)。比如《明史·莊烈帝本紀(jì)》記載明崇禎皇帝朱由檢在煤山自縊的日子是崇禎十六年三月丁未,。崇禎十六年就是公元1644年,。三月雖然是農(nóng)歷的三月，但我們知道農(nóng)歷的日期在公歷里雖然是浮動(dòng)的,，但也不出一定的范圍,，比如農(nóng)歷三月初一，總是在公歷3月22日到4月19日之間浮動(dòng),。因此,，先來算1644年3月22日的干支。我們有： 

g = 4 * 16 + [16/4] + 5 * 44 + [44/4] + [3*(3+1) / 5] + 22 - 3 
= 64 + 4 + 220 + 11 + 2 + 22 - 3 
= 320,， 

個(gè)位數(shù)是0,， 

z = g + 4C + 10 
= 320 + 64 + 10 
= 394， 

除以12余10，所以這一天的干支是癸酉,，其序號(hào)為6*0-5*10+60=10,。而丁未的序號(hào)是6*4-5*8+60=44，在癸未之后34天,，因此三月丁未肯定是3月22日之后34天,，即4月25日。這就是說,，崇禎自縊的日子是1644年4月25日,，這和查萬年歷的結(jié)果是一致的。