無窮，這是一個比較抽象的概念,，如果我們說無窮,，可能第一印象是那些很大很大的數(shù)，所以我們先從比較直觀的大數(shù)開始,。

大數(shù)與無窮大

在漢語中,，如果我們要具體表示數(shù)量大小的話，我們可以用十,，百,，千，萬,，或是它們的組合一百萬,，一千億，一萬萬億等等去表示,。如果是英語的話,，我們就用hundred,thousand,million等去表示。當一個中國人對你說出一萬億億,，或是一個美國人民用著正宗的倫敦音跟你說ten billion的時候,，你是不是覺的這些數(shù)字已經(jīng)有點震撼到你了,？其實這還只是熱身。大家都用過Google吧,，如果你對IT界的八卦比較熟悉的話,，那么你應該知道，Google這個名字來源與西方世界的一個單詞Googol,，這是西方世界中能夠用獨立名詞說出來的最大數(shù),，它為10的100次方。但這還不是最大的,，在除了“浩瀚無邊”,，“恒河之沙”之類的虛幻性的描述和當當用數(shù)字表示以外，具有獨立名稱最大數(shù)是佛教的asankhyeya,，它等于10的140次方,。這些數(shù)已經(jīng)很大了，對于我們大多數(shù)人來說,，我們一生都不見的會遇見或是用到這么大的數(shù)?？墒窃跓o窮前面,，無窮大與Googol的距離和無窮與1的距離是一樣的。因此無窮大不是一個數(shù),，而是一個概念,。

在數(shù)學和物理學上，有著許多不同的常數(shù),，可是如果你稍微留心一下,，你就會發(fā)現(xiàn)它們之間有個很有趣的差別：數(shù)學上的常數(shù)都很小，而物理學上的常數(shù)要不很大,，要不很小,。在數(shù)學上，算是兩大明星,，可是它們的值一個大約是3.14,，一個大約是2.72，跟物理學上的常數(shù)比起來,，真是有點那不出手,。物理學上一出手就是10的10次方以上，你要是弄個8次方,，你都不好意思見人,。例如電子質(zhì)量是,普朗克常數(shù)是。

以上舉了這些大數(shù)的例子,，視乎與無窮沒有太大的聯(lián)系,。如果你這樣想的話,，就對了。因為它們都是陪襯,。就像我在第一段講的,，無窮是一個概念，它是無法用數(shù)去表達出來的,。無論你寫出了多大的數(shù),，它與無窮大的距離與1還是一樣的。哪怕你把宇宙中的所有原子排成一排,，第一個當1,，后面都當0，這個數(shù)依然離無窮大很遙遠,。無窮大是一個無法企及的距離,。在現(xiàn)代數(shù)學中，我們用表述無窮大,，這是英國數(shù)學家在1655年首次使用這個符號,。

級數(shù)與無窮

我們先來看一個非常著名的級數(shù)－“調(diào)和級數(shù)”

如果問你一個問題，這個級數(shù)是發(fā)散的還是收斂的,？如果你對數(shù)學不是很了解的話,，乍一看，這就是一個收斂的級數(shù),。然而你錯了,，這是一個實實在在發(fā)散的級數(shù)。只不過它的發(fā)散速度實在是令人發(fā)指,。調(diào)和級數(shù)的前1000項的和約為7.485,，前100萬項的和約為14.357，前10億項的和約為21,，前一萬億項和約為28,，當它的和超過100時，如果每一項在紙帶上只占1毫米,，我們必須使用10^43毫米長的紙帶,，這大約是10^25光年，而宇宙估計尺寸只有10^12光年,。當宇宙都已經(jīng)被貫穿了,，而調(diào)和級數(shù)才不過100.如果想讓其趨向無窮，我覺的這件事情還是交給無窮去做吧,，人類就不要插手了,。

另外一個無窮級數(shù)的例子，跟一個著名的悖論有關系,，那就是芝諾悖論：

“AB兩點,，一個人從A點走向B點,，他必然要經(jīng)過AB的中點，我們稱為C點,。同樣他也要經(jīng)過C和B的中點,，我們稱為D，依次反復,，他要經(jīng)過無窮個中點,，因此，他永遠也到不了B點”

這種說法乍一看,，視乎是正確的,。但是我們可以看看下面的一些計算，首先假設AB之間的距離為1米,，這個人走的速度是每秒1米,。根據(jù)這個人要經(jīng)過無數(shù)個中點，我們可以得到下面這個式子：

S為他通過的距離,。大家一看這個無窮級數(shù),，立馬可以得出S的值為1.而人行走的速度為每秒1米，我們可以用同樣的式子計算出行走的時間為1秒,。

Euler一生中最喜歡研究的一個方面就是無窮級數(shù)了,。在他的那本被稱為數(shù)學界的七大奇書之一的《無窮分析引論》中，可以看到他用大段大段的篇幅介紹著各種各樣的無窮級數(shù)：

這些級數(shù)如果沒有了無窮這個條件,，是無法寫出這樣優(yōu)美的式子，你可以這樣說是無窮賦予了它們生命,，沒有了無窮的這個條件,，這些式子就失去了意義。

康托爾眼中的無窮

康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數(shù)學家,，集合論的創(chuàng)立者,。是數(shù)學史上最富有想象力，最有爭議的人物之一,。19世紀末他所從事的關于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數(shù)學中關于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng),，從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責。然而數(shù)學的發(fā)展最終證明康托是正確的,。他所創(chuàng)立的集合論被譽為20世紀最偉大的數(shù)學創(chuàng)造,。

以上是一段康托爾的介紹，還是要告誡同學們,，沒有很強大的精神力量,，為了身心健康，要謹慎的去思考宇宙從何而來,，將往哪去,？“蒼穹深深深幾許”之類的問題,。

康托爾認為，不是只存在一個無窮大,，而是有很多類型的無窮大,；這些種類在本質(zhì)上互不相同，但在很大程度上也像尋常數(shù)一樣可進行互相比較,。這種觀點與當時流行的觀點不同,。換句話說，無窮大與無窮大是不一樣的,，還是有高低大小之分的,。

我們先來看一個例子。大家先考慮一個問題,，是自然數(shù)集合大還是偶數(shù)集合大,？也許很多人會脫口而出，當然是自然數(shù)集合大,。要是我告訴你,，它們一樣大，你是不是覺的有點不可思議,，有種我在散布偽科學的想法,？

2 4 6 8 10 12 14 16…..

1 2 3 4 5 6 7 8……

我們可以看到，自然數(shù)集中的任何一個數(shù)都能在偶數(shù)集中找到唯一相對應的數(shù),，相反,，偶數(shù)集中的任何一個數(shù)也能在自然數(shù)集中找到唯一的一個相對應的數(shù)。也就是說自然數(shù)集與偶數(shù)集一一對應,，它們兩個集合的元素數(shù)目一樣多,！這與我們平常的生活經(jīng)驗相悖－“整體大于部分”，一個集合的子集等于集合本身,！這是多么讓人難以相信的事情,。有這樣想法的人是很正常的，因為我們的經(jīng)驗局限于有限世界中,，它們并沒有擴大到無窮大,。而在無窮集合的世界里面，有限集合的規(guī)律都被打破了,，有種到了新的山頭,，有新的規(guī)矩的樣子。

康托爾的理論是很博大的,，感興趣的同學可以自己找相關的熟悉看看,。這里只不過是滄海一粟。

幾何與無窮

我們說數(shù)學是美的,，并不僅僅說它有著非常巧妙的證明,，優(yōu)美的公式,。數(shù)學也能在感官上給予我們美的震撼，就像繪畫,，雕塑一般,，有種不朽的感覺。

首先,，先介紹一個人：埃舍爾,。

埃舍爾把自己稱為一個”圖形藝術家”，他專門從事于木版畫和平版畫,。1898年他出生在荷蘭的 Leeuwarden,，全名叫 Maurits Cornelis Escher. 說到埃舍爾，首先讓人聯(lián)想到的就是“迷惑的圖畫”,。明明是向二樓上去的樓梯不知為什么卻返回到了一樓,，鳥兒在不斷的變化中不知什么時候卻突然變成了魚兒，這些圖畫就是埃舍爾所描繪的幻想的異次元空間,，它具有不可思議的魔力,，征服著人們的心靈。他那特別稀有的畫風在很長時間以來被美術界視為異端,，后來數(shù)學家們開始關注埃舍爾的畫面的高難度構成,，接下來他的畫又在年輕人中間大受歡迎，并在世界范圍內(nèi)確立了其不可動搖的地位,。

有的時候,，一張圖片比上千字的說明都來的有效。周而復始的瀑布,，走不完的樓梯,，把我們帶入到一個無窮無盡，沒有開始,，沒有盡頭，周而復始的世界當中,。

無窮的話題是一個貫穿幾千年數(shù)學歷史的一個重要話題,，從阿基米德推算出球體體積，到Euler的無窮級數(shù)的研究,，從牛頓－萊布尼茨創(chuàng)建微積分,，到康托爾的集合論，無窮這個概念在逐漸的得到完善和發(fā)展,。不僅僅在數(shù)學上得到了充分的發(fā)展,，在多年來的發(fā)展中，也讓許多人重新思考了許多有關神學與哲學的問題,。這里只是盡我所能,，列出一些喜聞樂見的內(nèi)容,，希望大家對這個比較抽象的概念有個其它方面的認識。