梯形是一種特殊的四邊形,。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合,，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決,。輔助線的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

 

　?。?）在梯形內(nèi)部平移一腰,。

 

　　   例1（如圖1）已知在梯形ABCD中，AD//BC,，BA=DC,。求證：B=C

 

　　   證明：過(guò)點(diǎn)D作DM//AB交BC于點(diǎn)M。

 

　　        因?yàn)?/span>  AD//BC  DM//AB   所以AB=DM

 

　　      因?yàn)?/span> BA=DC  所以 DM=DC 

 

　　DMC=C

 

　　 DMC=B    B=C

 

 

　?。?）梯形外平移一腰

 

　　例2 （如圖2）在梯形ABCD中,AB∥DC,作□ACED延長(zhǎng)DC交BE于F

 

　　求證:EF=FB

 

　　證明：過(guò)點(diǎn)B作BG∥AD,交DC的延長(zhǎng)線于G

 

　　  ∴四邊形ABGD是平行四邊形    ∴AD=BG

 

　　  ∵□ACED中,，AD∥CE  AD=CE

 

　　   ∴CE∥BG且CE=BG   ∴∠1=∠2

 

　　 又∵∠3=∠4       ∴⊿ECF≌⊿BGF   ∴:EF=FB

 

　　

 

 

　　(3)梯形內(nèi)平移兩腰

 

　　例3 （如圖3）在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分別為AD,、BC的中點(diǎn),，且EF⊥BC，試說(shuō)明∠B=∠C

 

　　解：過(guò)E作EM∥AB,EN∥CD,分別交BC于M,N得□ABME ,□NCDE

 

　　∴AE=BM  DE=CN,  ∵AE=DE     ∴BM=CN

 

　　 又∵BF=CF    ∴FM=FN      ∵EF⊥BC  ∴EM=EN  ∴∠1=∠2

 

　　 ∵EM∥AB,EN∥CD,  ∴∠1=∠B , ∠2=∠C

 

　　∴∠B=∠C

 

 

　　(4)延長(zhǎng)兩腰

 

　　例4（如圖4）在梯形ABCD中, ∠B=∠C ,，AD∥BC,。

 

　　 求證：梯形ABCD是等腰梯形。

 

　　 證明：延長(zhǎng)BA,CD交于點(diǎn)E

 

　　∵∠B=∠C  ∴BE=CE

 

　　∵AD∥BC    ∴∠EAD=∠B  ∠EDA=∠C 

 

　　 ∵∠B=∠C     ∴∠EAD=∠EDA

 

　　   ∴AB=CD

 

　　結(jié)論得證

 

 

　?。?span>5）過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高

 

　　　例5（如圖5）在梯形ABCD中,，DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2 ，AB=8,求梯形ABCD的面積,。

 

　　解：過(guò)點(diǎn)D,、C分別作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.

 

　　根據(jù)等腰梯形的軸對(duì)稱性可知，AE=BF.

 

　　∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB

 

　　∴四邊形CDEF是矩形 ∴DC=EF

 

　　∴AE=(AB-EF)= (AB-CD)=3

 

　　∴ DE===4

 

　　∴=(2+8)x4=20

 

 

　　(6)平移對(duì)角線

 

　　例6求證：對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形,。

 

　　 已知：（如圖6）在梯形ABCD中,，AD∥BC,對(duì)角線AC=BD

 

　　求證：AB=DC

 

　　證明：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則四邊形ACED是平行四邊形,。

 

　　∴AC=DE    ∵DE=AC=DB     ∴∠DBC=∠E    ∠ACB=∠E

 

　　∴∠DBC=∠ACB

 

　　又∵BD=CA   BC=CB

 

　　∴⊿ABC≌⊿DCB

 

　　∴AB=DC

 

 

　?。?span>7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn),。

 

　　例7（如圖7）在梯形ABCD中，AD∥BC, E,、F分別為AB,、CD的中點(diǎn)，

 

　　   求證：EF=(AD+BC)

 

　　   證明：連接AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

 

　　先證⊿ADF≌⊿GCF  得 AD=CG   DF=FC

 

　　易證EF=BG=(AD+BC)

 

 

　　（8）過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線,。

 

　　例8（如圖8）在梯形ABCD中,，AD∥BC, E為CD的中點(diǎn)，

 

　　      求證：S=

 

　　      證明：過(guò)點(diǎn)E作MN∥AB交BC于N,，交AD的延長(zhǎng)線于M

 

　　易證⊿NCE≌⊿MDE,從而推出S=

 

　　∵□ABNM和⊿ABE中,，它們同底同高，

 

　　∴S=2S

 

　　∴= S

 

 

　　(9)作中位線

 

　　例9（如圖9））在梯形ABCD中,，AB∥CD,M為AD的中點(diǎn),，AB+CD=BC

 

　　求證：BM⊥CM

 

　　證明：過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB交BC于點(diǎn)N

 

　　   ∵M為AD的中點(diǎn)，∴MN是梯形ABCD的中位線

 

　　   ∴MN=（AB+CD） ∵AB+CD=BC

 

　　    ∴MN=BC

 

　　   ∴⊿BCM是直角三角形  

 

　　   ∴BM⊥CM

 

　　當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中,，添加的輔助線并不一定是固定不變的,、單一的。通過(guò)輔助線這座橋梁,，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決,，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。