中學(xué)代數(shù)式的問題,，可以概括為四大類：計算,，求值，化簡,，論證．解代數(shù)式問題的關(guān)鍵是通過代數(shù)運(yùn)算,，把代數(shù)作恒等變形．代數(shù)式恒等變形的重要手段之一是因式分解．它貫穿、滲透在各種代數(shù)式問題之中．

因式分解是在學(xué)習(xí)有理數(shù)和整式四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．它為以后學(xué)習(xí)分式運(yùn)算,、解方程和方程組及代數(shù)式和三角函數(shù)式的恒等變形提供必要的基礎(chǔ)．所以因式分解是中學(xué)代數(shù)教材的一個重要內(nèi)容．它具有廣泛的基礎(chǔ)知識的功能．

由于進(jìn)行因式分解時要靈活綜合運(yùn)用學(xué)過的有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,，并且因式分解的途徑多，技巧性強(qiáng),，逆向思維對中學(xué)生來講具有一定的深廣度,，所以因式分解又是發(fā)展學(xué)生智能、培養(yǎng)能力,、深化學(xué)生逆向思維的良好載體．正因為因式分解具有良好的培養(yǎng)能力和思維的功能,，所以因式分解又是中學(xué)代數(shù)教材的一個難點．

本章的因式分解的內(nèi)容是多項式因式分解中一部分最基本的知識和基本的方法，它包括因式分解的有關(guān)概念,，整式乘法與因式分解的區(qū)別和聯(lián)系,，因式分解的四種基本方法，即提公因式法,、運(yùn)用公式法,、分組分解法和十字相乘法．教材最后歸納給出因式分解的一般步驟．

多項式因式分解是代數(shù)式中一部分重要內(nèi)容，它與前一章整式和后一章分式聯(lián)系極為密切,，因式分解的教學(xué)是在整式四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,，因式分解方法的理論依據(jù)就是多項式乘法的逆變形．這部分內(nèi)容在將分式通分和約分時有著直接的應(yīng)用．因式分解在解方程以及將三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變形等方面也經(jīng)常用到．因此，在教學(xué)中對這部分內(nèi)容應(yīng)給予足夠的重視．

因式分解的概念是把一個多項式化成幾個整式的積的形式．教材在引言中是結(jié)合本章前面的插圖闡述這一概念的,，也可以與小學(xué)數(shù)學(xué)里因數(shù)分解的概念類比予以說明．在教學(xué)時對因式分解這一概念不宜要求學(xué)生一次徹底了解,，應(yīng)該在講授因式分解的四種基本方法時，結(jié)合具體例題的分解過程和分解結(jié)果,，說明這一概念的意義,，以達(dá)到逐步了解這一概念的教學(xué)目的．

提公因式法是因式分解的最基本的也是最常用的方法．它的理論依據(jù)就是乘法的分配律．運(yùn)用這個方法，首先要對欲分解的多項式進(jìn)行考察,，提出字母系數(shù)的公因數(shù)以及公有字母或公共因式中的最高公因式．

關(guān)于運(yùn)用公式法,，教材講了最常用的五個公式．運(yùn)用公式法的關(guān)鍵是熟悉各公式的形式和特點．對于初學(xué)者來說，如何根據(jù)要分解的多項式的形式和特點,，來選擇應(yīng)該運(yùn)用什么公式,，往往不很容易．這也是運(yùn)用公式法的難點．教材注意分析實例,，指明思路，交代方法,，以便克服難點．

分組分解法是前兩種方法的綜合運(yùn)用．教材中分兩類．一類是分組后能直接提公因式的,，一類是分組后能運(yùn)用公式的．由于多項式的形式各異，分組的方法也有所不同,，要具體問題具體分析,；并且要預(yù)見到分組后分解整個多項式的可能性．因此，相對來說,，分組分解法較前面兩種方法難些．教學(xué)時,，要根據(jù)教材的層次，先易后難,，最后再講略帶綜合性的因式分解的題目．

十字相乘法是適用于分解某些二次三項式的一種方法．教材分兩個層次安排這部分內(nèi)容．第一部分是二次三項式的二次項系數(shù)為1的情況,，第二部分是二次三項式的二次項系數(shù)不為1的情況．這樣層次分明、條理清楚,，十字相乘法靈活性強(qiáng),，難度較大，教學(xué)上要嚴(yán)格控制教學(xué)要求,，不要隨意增加內(nèi)容和提高要求．

綜合運(yùn)用以上四種方法進(jìn)行多項式因式分解的內(nèi)容安排在本章的最后．對這部分內(nèi)容的教學(xué),，要根據(jù)不同的題目，進(jìn)行具體分析,，靈活地綜合運(yùn)用各種方法來分解因式．這部分內(nèi)容是教學(xué)的難點．要從教學(xué)要求和學(xué)生的學(xué)習(xí)水平實際出發(fā)安排,，不宜要求過高．

因式分解的一般步驟是總結(jié)各種分解方法后講述的．教學(xué)時要強(qiáng)調(diào)結(jié)合題目的形式和特點來選擇確定采用哪種方法．四種方法是彼此有聯(lián)系的，并不是一種類型的多項式就只能用一種方法來分解因式．教學(xué)時要讓學(xué)生學(xué)會具體問題具體分析的方法．

新知識點

(1)因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式,，叫做把這個多項式因式分解,，也叫做把這個多項式分解因式．

(2)公因式：一個多項式每一項都含有的相同的因式叫做這個多項式的公因式．

(3)確定公因式的方法：公因數(shù)的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同字母,，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．

(4)提公因式法：一般地,，如果多項式的各項有公因式可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式,，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

(5)提出多項式的公因式以后,，另一個因式的確定方法是：用原來的多項式除以公因式所得的商就是另一個因式．

(6)如果多項式的第一項的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“-”號,，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的,，在提出“-”號時，多項式的各項都要變號．

(7)因式分解和整式乘法的關(guān)系：因式分解和整式乘法是整式恒等變形的正,、逆過程,，整式乘法的結(jié)果是整式，因式分解的結(jié)果是乘積式．

(8)運(yùn)用公式法：如果把乘法公式反過來,，就可以用來把某些多項式分解因式,，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法．

(9)平方差公式：兩數(shù)平方差,，等于這兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差，字母表達(dá)式：a2-b2=(a+b)(a-b)

(10)具備什么特征的兩項式能用平方差公式分解因式

①系數(shù)能平方,，(指的系數(shù)是完全平方數(shù))

②字母指數(shù)要成雙，(指的指數(shù)是偶數(shù))

③兩項符號相反．(指的兩項一正號一負(fù)號)

(11)用平方差公式分解因式的關(guān)鍵：把每一項寫成平方的形式,，并能正確地判斷出a,，b分別等于什么．

(l2)完全平方公式：兩個數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的2倍,，等于這兩個數(shù)的和(或者差)的平方．字母表達(dá)式：a2±2ab+b2=(a±b)2

(13)完全平方公式的特點：

①它是一個三項式．

②其中有兩項是某兩數(shù)的平方和．

③第三項是這兩數(shù)積的正二倍或負(fù)二倍．

④具備以上三方面的特點以后,，就等于這兩數(shù)和(或者差)的平方．

(14)立方和與立方差公式：兩個數(shù)的立方和(或者差)等于這兩個數(shù)的和(或者差)乘以它們的平方和與它們積的差(或者和)．


(15)利用立方和與立方差分解因式的關(guān)鍵：能把這兩項寫成某兩數(shù)立方的形式．

(16)具備什么條件的多項式可以用分組分解法來進(jìn)行因式分解：如果一個多項式的項分組并提出公因式后，各組之間又能繼續(xù)分解因式,，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式．

(17)分組分解法的前提：熟練地掌握提公因式法和公式法,，是學(xué)好分組分解法的前提．

(18)分組分解法的原則：分組后可以直接提出公因式，或者分組后可以直接運(yùn)用公式．

(19)在分組時要預(yù)先考慮到分組后能否繼續(xù)進(jìn)行因式分解,，合理選擇分組方法是關(guān)鍵．

(20)對于一個一般形式的二次項系數(shù)為1的二次三項式x2+px+q,，如果將常數(shù)項q分解成兩個因數(shù)a，b,，而a+b等于一次項系數(shù)P,，那么它就可以分解因式．

即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab

=(x+a)(x+b)

這里的關(guān)鍵：掌握a，b與原多項式的常數(shù)項,，一次項系數(shù)之間的關(guān)系,，這個關(guān)系主要是：ab=q，a+b=p

(21)十字相乘法：借助畫十字交叉線分解系數(shù),，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法．

(22)十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三項式的因式分解．

(23)對于一個一般形式的二次項的系數(shù)不是1的二次三項式ax2＋bx＋c,，用十字相乘法分解因式的關(guān)鍵：找出四個因數(shù)，使a1a2=a,，c1c2=c,，a1c2＋a2c1=b．

這四個因數(shù)的找出，要經(jīng)過反復(fù)嘗試,，為了減少嘗試的次數(shù),，使符號問題簡單化，當(dāng)二次項的系數(shù)為負(fù)數(shù)時,，應(yīng)先把負(fù)號提出,，使二次項的系數(shù)為正數(shù)，將二次項系數(shù)分解因數(shù)時,，只考慮分解為兩個正數(shù)的積．

即ax2＋bx＋c=a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2

＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)

(24)二次三項式ax2＋bx＋c在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式的充分必要條件是b2-4ac為一個有理數(shù)的平方．

(25)因式分解的一般步驟：

①如果多項式的各項有公因式,，那么先提公因式；

②如果各項沒有公因式,，那么可以嘗試運(yùn)用公式來分解,；

③如果用上述方法不能分解,，那么可以嘗試用分組分解法或其他方法分解．

(26)從多項式的項數(shù)來考慮用什么方法分解因式．

①如果是兩項，應(yīng)考慮用提公因式法,，平方差公式,，立方和或立方差公式來分解因式．

②如果是二次三項式，應(yīng)考慮用提公因式法,，完全平方公式,，十字相乘法．

③如果是四項式或者大于四項式，應(yīng)考慮提公因式法,，分組分解法．

(27)因式分解要注意的幾個問題：

①每個因式分解到不能再分為止．

②相同因式寫成乘方的形式．

③因式分解的結(jié)果不要中括號．

④如果多項式的第一項系數(shù)是負(fù)數(shù),，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項系數(shù)為正數(shù)．

⑤因式分解的結(jié)果,，如果是單項式乘以多項式,，把單項式寫在多項式的前面．