定義與定義表達(dá)式
一般地，
自變量x和
因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c(a≠0,，a,、b、c為常數(shù)),，則稱y為x的二次函數(shù),。
重要概念：（a，b,，c為常數(shù),，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向,，a>0時(shí),，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí),，開(kāi)口方向向下,。IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大。）
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次,。
x是自變量,，y是x的二次函數(shù)
二次函數(shù)的三種表達(dá)式
①一般式：
y=ax^
2;+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
?、陧旤c(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h,，k) ]：
y=a（x－ｈ）^2＋ｋ
③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：
y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：
?、僖话闶胶晚旤c(diǎn)式的關(guān)系
對(duì)于二次函數(shù)y=ax+bx+c,，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為
(-b/2a),(4ac-b2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b²)/4a
?、谝话闶胶徒稽c(diǎn)式的關(guān)系
x1,x2=[-b±√(b²-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)
y=x²的圖像,，
可以看出,，二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線。
不同的二次函數(shù)圖像
拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是
軸對(duì)稱圖形,。對(duì)稱軸為直線
x = -b/2a,。
對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地,，當(dāng)b=0時(shí),，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ,，(4ac-b²)/4a )
當(dāng)-b/2a=0時(shí),，P在y軸上；當(dāng)Δ= b²-4ac=0時(shí),，P在x軸上,。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。
當(dāng)a＞0時(shí),，拋物線向上開(kāi)口,；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口,。
|a|越大,，則拋物線的開(kāi)口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置,。
當(dāng)a與b
同號(hào)時(shí)（即ab
＞0）,，對(duì)稱軸在
y軸左； 因?yàn)槿魧?duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0,，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,，所以a、b要同號(hào)
當(dāng)a與b
異號(hào)時(shí)（即ab
＜0）,，對(duì)稱軸在
y軸右,。因?yàn)閷?duì)稱軸在右邊則對(duì)稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,，所以a,、b要異號(hào)
事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值,?？赏ㄟ^(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn),。
拋物線與y軸交于（0,，c）
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ= b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn),。
Δ= b²-4ac=0時(shí),，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn),。
_______
Δ= b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn),。X的取值是虛數(shù)（
x= -b±√b²－4ac 的值的相反數(shù),，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）
當(dāng)a>0時(shí),，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a,；在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在{x|x>-b/2a}上是增函數(shù),；拋物線的開(kāi)口向上,；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不變
當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸,，這時(shí),，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)
7.定義域：R
值域：（對(duì)應(yīng)解析式,，且只討論a大于0的情況,，a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷）①[(4ac-b²)/4a，正無(wú)窮）,；②[t，正無(wú)窮）
奇偶性：偶函數(shù)
周期性：無(wú)
解析式：
?、賧=ax²+bx+c[一般式]
?、臿≠0
⑵a＞0,，則拋物線開(kāi)口朝上,；a＜0，則拋物線開(kāi)口朝下,；
?、菢O值點(diǎn)：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）,；
?、?#916;=b²-4ac,
Δ＞0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：
?。╗-b-√Δ]/2a,，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）,；
Δ＝0,，圖象與x軸交于一點(diǎn)：
（-b/2a,，0）,；
Δ＜0,，圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)；
?、趛=a(x-h)²+t[配方式]
此時(shí),，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為（h，t）,，其中h=-b/2a,，t=(4ac-b²)/4a）；
二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）
y=ax²+bx+c,，
當(dāng)
y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）,，
即
ax²+bx+c=0
此時(shí),，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根,。
1．
二次函數(shù)y=ax²,，y=a(x-h)²，y=a(x-h)² +k,，y=ax²+bx+c(各式中,，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同,，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：
解析式
y=ax²
y=ax²+K
y=a(x-h)²
y=a(x-h)²+k
y=ax²+bx+c
頂點(diǎn)坐標(biāo)
(0,，0)
(0，K)
(h,，0)
(h,，k)
(-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a)
對(duì) 稱 軸
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當(dāng)
h>0時(shí),，
y=a(x-h)²的圖象可由拋物線
y=ax²向右平行移動(dòng)
h個(gè)單位得到,，
當(dāng)
h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到．
當(dāng)
h>0,k>0時(shí),，將拋物線
y=ax²向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象,；
當(dāng)
h>0,k<0時(shí),，將拋物線
y=ax²向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到
y=a(x-h)²+k的圖象,；
當(dāng)
h<0,k>0時(shí),，將拋物線向左平行移動(dòng)
|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到
y=a(x-h)²+k的圖象；
當(dāng)
h<0,k<0時(shí),，將拋物線向左平行移動(dòng)
|h|個(gè)單位,，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到
y=a(x-h)²+k的圖象；
因此,，研究拋物線
y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(x-h)²+k的形式,，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo),、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫(huà)圖象提供了方便．
2．拋物線
y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí),，開(kāi)口向上,，當(dāng)a<0時(shí)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線
x=-b/2a,，頂點(diǎn)坐標(biāo)是
(-b/2a,，[4ac-b²]/4a)．
3．拋物線
y=ax²+bx+c(a≠0)，若
a>0,，當(dāng)
x ≤ -b/2a時(shí),，y隨x的增大而減小,；當(dāng)
x ≥ -b/2a時(shí),，y隨x的增大而增大．若a<0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí),，y隨x的增大而增大,；當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減?。?
4．拋物線y=ax²+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,，c),；
(2)當(dāng)△=b²-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?,，0)和B(x?,，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?| 另外,，拋物線上任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)）
當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),；
當(dāng)△<0．圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方,，x為任何實(shí)數(shù)時(shí),，都有y>0；當(dāng)a<0時(shí),，圖象落在x軸的下方,，x為任何實(shí)數(shù)時(shí),，都有y<0．
5．拋物線y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x= -b/2a時(shí),，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),，是最值的取值．
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x,、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax²+bx+c(a≠0)．
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或極大（?。┲禃r(shí),，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
7．二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用,，而形成較為復(fù)雜的綜合題目,。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題,，往往以大題形式出現(xiàn)．
1．(北京西城區(qū))拋物線y=x²-2x+1的對(duì)稱軸是( )
(A)直線x=1 (B)直線x=-1 (C)直線x=2 (D)直線x=-2
考點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸．
評(píng)析：因?yàn)閽佄锞€y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸方程是：x=-b/2a,，將已知拋物線中的a=1，b=-2代入,，求得x=1,，故選項(xiàng)A正確．
另一種方法：可將拋物線配方為y=a(x-h)²+k的形式，對(duì)稱軸為x=h,，已知拋物線可配方為y=(x-1)²,，所以對(duì)稱軸x=1，應(yīng)選A．
2．( 北京東城區(qū))有一個(gè)二次函數(shù)的圖象,，三位學(xué)生分別說(shuō)出了它的一些特點(diǎn)：
甲：對(duì)稱軸是直線x=4,；
乙：與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；
丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù),，且以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3．
請(qǐng)你寫(xiě)出滿足上述全部特點(diǎn)的一個(gè)二次函數(shù)解析式：?。?
考點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的求法
評(píng)析：設(shè)所求解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，且設(shè)x1＜x2,，則其圖象與x軸兩交點(diǎn)分別是A(x1,，0)，B(x2,，0),，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，ax1x2). 『因?yàn)轫旤c(diǎn)式a(x+x1)(x+x2),又因?yàn)榕cy軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2
∵拋物線對(duì)稱軸是直線x=4,，
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ① ∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3,，
即：x2- x1=?、?
①②兩式相加減,，可得：x2=4+,，x1=4-
∵x1，x2是整數(shù),，ax1x2也是整數(shù),，∴ax1x2是3的約數(shù)，共可取值為：±1,，±3,。
當(dāng)ax1x2=±1時(shí)，x2=7,，x1=1,，a=±
當(dāng)ax1x2=±3時(shí)，x2=5,，x1=3,，a=±
因此，所求解析式為：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
說(shuō)明：本題中,，只要填出一個(gè)解析式即可,，也可用猜測(cè)驗(yàn)證法。例如：猜測(cè)與x軸交點(diǎn)為A(5,，0),，B(3，0),。再由題設(shè)條件求出a,，看C是否整數(shù)。若是,，則猜測(cè)得以驗(yàn)證,，填上即可。
5．( 河北省)如圖13-28所示,，二次函數(shù)y=x²-4x+3的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn),，交y軸于點(diǎn)C,，則△ABC的面積為( )
A、6 B,、4 C,、3 D、1
考點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象及性質(zhì)的運(yùn)用。
評(píng)析：由函數(shù)圖象可知C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,，3),，再由x²-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A,、B兩點(diǎn)之間的距離為2,。那么△ABC的面積為3，故應(yīng)選C,。
圖13-28
6．( 安徽省)心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大,，表示接受能力越強(qiáng),。
(1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng),？x在什么范圍內(nèi),，學(xué)生的接受能力逐步降低？
(2)第10分時(shí),，學(xué)生的接受能力是什么,？
(3)第幾分時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng),？
考點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì),。
評(píng)析：將拋物線y=-0.1x2+2.6x+43變?yōu)轫旤c(diǎn)式為：y=-0.1(x-13)2+59.9，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知開(kāi)口向下,，當(dāng)x＜13時(shí),，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>13時(shí),，y隨x的增大而減小,。而該函數(shù)自變量的范圍為：0＜x3＜0，所以兩個(gè)范圍應(yīng)為0＜x＜13,；13＜x＜30,。將x=10代入，求函數(shù)值即可,。由頂點(diǎn)解析式可知在第13分鐘時(shí)接受能力為最強(qiáng),。解題過(guò)程如下：
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以，當(dāng)0＜x＜13時(shí),，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng),。
當(dāng)13＜x＜30時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步下降,。
(2)當(dāng)x=10時(shí),，y=-0.1(10-13)2+59.9=59,。
第10分時(shí)，學(xué)生的接受能力為59,。
(3)x=13時(shí),，y取得最大值，
所以,，在第13分時(shí),，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)。
9．( 河北省)某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品．據(jù)市場(chǎng)分析,，若按每千克50元銷售,，一個(gè)月能售出500千克；銷售單價(jià)每漲1元,，月銷售量就減少10千克．針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況,，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：
(1)當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤(rùn),；
(2)設(shè)銷售單價(jià)為每千克x元,，月銷售利潤(rùn)為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫(xiě)出x的取值范圍),；
(3)商店想在月銷售成本不超過(guò)10000元的情況下,，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少,？
解：(1)當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí),，月銷售量為：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月銷售利潤(rùn)為
:(55–40)×450=6750(元)．
(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克x元時(shí),，月銷售量為：[500–(x–50)×10]千克而每千克的銷售利潤(rùn)是:(x–40)元,，所以月銷售利潤(rùn)為：
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x²+1400x–40000(元)，
∴y與x的函數(shù)解析式為：y =–10x²+1400x–40000．
(3)要使月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元,，即y=8000,，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0,，
解得：x1=60,，x2=80．
當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克60元時(shí)，月銷售量為：500–(60–50)×10=400(千克),，月銷售成本為：
40×400=16000(元),；
當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克80元時(shí)，月銷售量為：500–(80–50)×10=200(千克),，月銷售單價(jià)成本為：
40×200=8000(元),；
由于8000＜10000＜16000，而月銷售成本不能超過(guò)10000元,，所以銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克80元．
19．2006義烏市經(jīng)濟(jì)繼續(xù)保持平穩(wěn)較快的增長(zhǎng)態(tài)勢(shì),，全市實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)總值 元，已知全市生產(chǎn)總值＝全市戶籍人口×全市人均生產(chǎn)產(chǎn)值,，設(shè)義烏市2006年戶籍人口為x（人）,，人均生產(chǎn)產(chǎn)值為y（元）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,；
?。?）2006年義烏市戶籍人口為706 684人，求2006年義烏市人均生產(chǎn)產(chǎn)值（單位：元,，結(jié)果精確到個(gè)位）：若按2006年全年美元對(duì)人民幣的平均匯率計(jì)（1美元＝7.96元人民幣）,，義烏市2006年人均生產(chǎn)產(chǎn)值是否已跨越6000美元大關(guān)？
20．下圖1為義烏市2005年,，2006年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入構(gòu)成條形統(tǒng)計(jì)圖,。圖2為義烏市2006年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入構(gòu)成扇形統(tǒng)計(jì)圖，城鎮(zhèn)居民個(gè)人均可支配收入由工薪收入,、經(jīng)營(yíng)凈收入,、財(cái)產(chǎn)性收入、轉(zhuǎn)移性收入四部分組成,。請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息回答下列問(wèn)題：
?。?）2005年義烏市城鎮(zhèn)居民人均工薪收入為_(kāi)_______元，2006年義烏市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入為_(kāi)______元,；
?。?）在上圖2的扇形統(tǒng)計(jì)圖中，扇形區(qū)域A表示2006年的哪一部分收入：__________．
?。?）求義烏市2005年到2006年城鎮(zhèn)居民人遠(yuǎn)親中支配收入的增長(zhǎng)率（精確到0．1℅）
19．解：（1） （x為正整數(shù)）
?。?）2006年全市人均生產(chǎn)產(chǎn)值= （元）（2分）
我市2006年人均生產(chǎn)產(chǎn)值已成功跨越6000美元大關(guān)（1分）
