一,、常用的幾個簡單幾何圖形的計數(shù)公式

如歌的行板 2007-02-08

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一,、常用的幾個簡單幾何圖形的計數(shù)公式

　　1．數(shù)線段、三角形,、（銳）角的公式

　　數(shù)出圖6－1中各條線段上線段的總條數(shù),。

　　圖6－1(a)中只有兩個點A、B,、只有一條線段,。

　　圖6－1(b)中有A、B,、C三個點,，這三個點將線段AC分割成AB、BC兩條小線段,，這兩條小線段連起來組成一條新線段AC,，所以圖6－1(b)中有三條線段算式為2＋1＝3。

　　圖6－1(c)中有A,、B,、C、D四個點,，這四個點將線段AD分割成AB,、BC、CD三條小線段,；把相鄰的兩條小線段連起來組成兩條新線段AC,、BD，然后相鄰的三條小線段連起來組成一條新線段AD,，所以圖6－1(c)中共有6條線段,，算式為3＋2＋1＝6,。

　　圖6－1(d)中在有A、B,、C,、D、E五個點,，這五個點將線段AE分割成AB,、BC、CD,、DE四條小線段,；把相鄰的兩條小線段連起來組成三條新線段AC、BD,、CE,；再將相鄰的三條小線段連起來又組成兩條新線段AD、BE,；最后相鄰的四條小線段連起來又組成一條新線段AE,。所以圖6－1(d)中共有10條線段。算式為4＋3＋2＋1＝10,。

　　圖6－1(e)中有A,、B、C,、D,、E、F六個點,，這六個點將線段分割成AB,、BC、CD,、DE,、EF五條小線段；這五條小線段中的任意相鄰兩條小線段連起來又組成四條新線段AC,、BD,、CE、DF,；然后將相鄰三條小線段連在一起又組成三條新線段AD、BE,、CF,；再將相鄰四條小線段連起來又組成兩條新線段AE、BF,；最后五條相鄰小線段連起來又組成一條新線段AF,。所以圖6－1（e）中共有15條線段,。算式為5＋4＋3＋2＋1＝15。

　　將上述幾種情況一般化,，如果某條線段上共有n個點（包括兩個端點）,，那么這n個點將線段分割成n－1條小線段，這n－1條小線段中,，任意相鄰兩條小線段連起來又都可以組成一條新線段,，這樣的新線段共有n－2條。

　　另外,，這n－1條小線段中,，任意三條相鄰小線段連起來又都可以組成一條新線段，這樣的新線段共有n－3條,。

　　依此類推,，可得：

　　任意相鄰四條小線段連起來組成的新線段共有n－4條。

　　任意相鄰五條小線段連起來組成的新線段共有n－5條,。

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　　任意相鄰n－2條小線段連起來組成的新線段,，共有

　　（n－（n－2）＝）2條,。

　　最后相鄰的n－1條小線段連起來組成1（＝n－（n－1））條新線段,。

　　此時，線段的總條數(shù)為

　?。?/font>n－1）＋（n－2）＋……＋2＋1

　　這樣便得到如何數(shù)類似圖6－1中線段總條數(shù)的公式：

　　當一條線段上共n個點（包括兩個端點）時,，這條線段上線段總條數(shù)為：

　　1＋2＋…＋（n－1） ①

　　即線段總條數(shù)為從1開始的（n－1）個連續(xù)自然數(shù)的和。

　　把圖6－1稍加變化,，可得圖6－2,。圖6－2各圖中的三角形有下面兩個特點：一是所有三角形有一個共公的頂點，二是所有三角形的底邊都在同一條直線上,。

　　圖6－2(a),、(b)、(c)中三角形的個數(shù)與底邊的個數(shù)一樣多,。即圖6－2(a)中三角形的個數(shù)有6個（6＝1＋2＋3）,，圖6－2(b)中三角形的個數(shù)有10個（1＋2＋3＋4＝10）。圖6－2(c)中三角形的個數(shù)有15個（1＋2＋3＋4＋5＝15）,。

　　這說明公式①還可以用來數(shù)類似于圖6－2中三角形的總個數(shù),。

　　另外公式①還可以用來數(shù)如圖6－3中銳角的總個數(shù)，即從銳角AOB的頂點O,，在其內部引n－1條射線,，此時圖中銳角的總個數(shù)也是：

　　1＋2＋…＋（n－1）＋n

　　2．數(shù)長方形的公式

　　先看圖6－4中有多少個長方形（圖中ABCD是一個長方形，長方形內每條豎線都平行于BC，每一條橫線都平行于AB）,。

　　這個問題與數(shù)線段有十分密切的關系,。由公式知道：AB邊上共有（1＋2＋3＋4＋5＝）15條線段；AD邊上共有（1＋2＋3＝）6條線段,。把AB邊上的每一條線段作為長,，AD邊上的每一條線段作為寬，每一個長配一個寬,，就組成一個長方形（包括正方形）,，所以圖6－4中長方形的總數(shù)為

　　（1＋2＋3＋4＋5）×（1＋2＋3）

　　一般情況下,，如果有類似于圖6－4的任一長方形,，一邊上有n＋1個點，其相鄰一邊上有m＋1個點（m,、n是自然數(shù)）,；相鄰兩點間的距離可以相等，也可以不相等,。過這些點分別做對邊的平行線,，與另一邊相交，這些平行線將原長方形分割成許多長方形,，此時圖中長方形的總數(shù)為：

　?。?/font>1＋2＋…＋n）×（1＋2＋…m） ②

　　利用公式②還可以計算圖6－5(a)、(b)中平行四邊形和梯形的總數(shù),。

　　3．數(shù)正方形的公式

　　分別數(shù)出圖6－6中各圖內的所有正方形的個數(shù)（圖中每個小格都是正方形）,。

　　為方便起見，我們假定每個小方格的邊長為1個長度單位,。

　　圖6－6（a）中大正方形邊長為2個長度單位,，其中邊長為1個長度單位的正方形有（2×2）＝4個，邊長為2個長度單位的正方形有1個,。所以,，正方形總數(shù)為

　　1×1＋2×2＝5（個）

　　圖6－6（b）中大正方形邊長為3個長度單位，其中邊長為1個長度單位的正方形有（3×3＝）9個,，邊長為2個長度單位的正方形有（2×2＝）4個,，邊長為3個長度單位的正方形有1個。所以,，正方形的總數(shù)為

　　1×1＋2×2＋3×3＝14（個）

　　圖6－6（c）中大正方形邊長為4個長度單位,，其中邊長為1個長度單位的正方形有（4×4＝）16個，邊長為2個長度單位的正方形有（3×3＝）9個,，邊長為3個長度單位的正方形有（2×2＝）4個,，邊長為4個長度單位的正方形有1個。所以，正方形的總數(shù)為

　　1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30（個）

　　圖6－6（d）中大正方形邊長為5個長度單位,。其中邊長為1個長度單位的正方形有（5×5＝）25個，邊長為2個長度單位的正方形有（4×4＝）16個,，邊長為3個長度單位的正方形有（3×3＝）9個,，邊長為4個長度單位的正方形有（2×2＝）4個，邊長為5個長度單位的正方形有1個,。所以,，正方形的總數(shù)為

　　1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＝55（個）

　　一般而言，如果類似圖6－6中大正方形邊長為n個長度單位,，那么其中邊長為1個長度單位的正方形有（n×n＝）n²個,，邊長為2個長度單位的正方形有（n－1）×（n－1＝）即（n－1）²個，…,，邊長為n－2個長度單位的正方形有（3×3＝）9個,，邊長為n－1個長度單位的正方形有（2×2＝）4個，邊長為n個長度單位的正方形有1個,。所以,，如果類似圖6－6的大正方形各邊上都有n個彼此相等的小格，那么圖中正方形的總數(shù)為