我們已學(xué)習(xí)過合數(shù)和質(zhì)數(shù)的一些簡單知識,，對它們有了初步的了解,。

　　我們可以按每個整數(shù)的約數(shù)個數(shù)的不同，將自然數(shù)分為三類：

　　第一類：只有一個約數(shù),，是“1”,。

　　第二類：只有兩個約數(shù)的，即1和本身的,，是質(zhì)數(shù),。

　　第三類：除1和本身還有其它的約數(shù)，是合數(shù),。

　　從以上的分類方式中,，能夠清楚地看出兩點，①“1”這個數(shù)既不是質(zhì)數(shù),，也不是合數(shù),。②“質(zhì)數(shù)與合數(shù)放在一起并不是全部自然數(shù)”。這兩點十分重要,，運用中容易出現(xiàn)問題。

　　如何判斷一個大于1的自然數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)呢,，下面介紹幾種常見的方法,。

例1 377是質(zhì)數(shù)嗎,？

解：我們用從小到大的一個個質(zhì)數(shù)，逐個試除377,，看看有沒有能整除377的,，即用2，3,，5,，7，11,，13,，…去試除。發(fā)現(xiàn)13|377而13是1和377以外的約數(shù),，所以377不是質(zhì)數(shù),。

　　兩千多年前，埃及亞歷山大圖書館的管理員埃托色尼就是用這種方法選出質(zhì)數(shù)的：在全體自然數(shù)里,，先把1去掉,，然后再把2的倍數(shù)去掉（保留2），再把3的倍數(shù)去掉（保留3）,，……,，依次地做下去，最后剩下的就都是質(zhì)數(shù)了,。這種方法叫“篩選法”,。

例2 有一個2n+1位整數(shù)（n是整數(shù)，n≥1）

解法1：我們觀察這個數(shù)的數(shù)字特征,，可以看出,，它的各個數(shù)位數(shù)字和是3的倍數(shù)。

　　由于n+1是整數(shù),，得3|（n+1）×3,，所以3是原數(shù)的約數(shù)，顯然3是

　　由上面的解法中,，可以看到“整除”知識在判斷質(zhì)數(shù)與合數(shù)時有很大用處,，要想迅速找出一個整數(shù)的約數(shù)，就要對數(shù)的整除特征非常熟練,，這對提高篩選的速度大有好處,。

解法2：還可以把這個數(shù)分解一下，把這個數(shù)中間的“3”拆開,。

　　把這個數(shù)字拆開的主要目的是能提出公因數(shù)做因數(shù)分解,。這種方法不但能說明一個數(shù)是合數(shù)，還提供了分解因數(shù)的一種方法,。

　　對于質(zhì)數(shù)來講,，由于它至今沒有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)式子來表示,，人們對它的了解仍是很不全面的。已經(jīng)知道：質(zhì)數(shù)有無限多個（這在初中可以證明）,，并且一般來說,，隨著數(shù)值越大就越來越稀少。有人統(tǒng)計過五千以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分布情況：

　　1～1000中有168個質(zhì)數(shù),，

　　1001～2000中有135個質(zhì)數(shù),，

　　2001～3000中有127個質(zhì)數(shù)，

　　3001～4000中有120個質(zhì)數(shù),，

　　4001～5000中有119個質(zhì)數(shù),。

例3 在三張紙片上分別寫上三個最小的連續(xù)的奇質(zhì)數(shù)，如果隨意從其中取出至少一張組成一個數(shù),，其中有幾個是質(zhì)數(shù),？將它們寫出來。

解：三個最小的連續(xù)奇質(zhì)數(shù)是指3,，5,，7。“至少取出一張”的含義是：取一張組成一位數(shù),，取兩張組成兩位數(shù),，取三張組成三位數(shù)。

　　我們下面分三種情況討論一下：

　?。?）如果取出了三張：這三個數(shù)字的和3+5+7=15是3的倍數(shù),，所以任意取出的三位數(shù)都不是質(zhì)數(shù)。

　?。?）如果取出了兩張：所有可能的兩位數(shù)有35,，37，53,，57,，73，75六種,，其中質(zhì)數(shù)是37,，53，73,。

　?。?）只取出一張時：3、5,、7均為質(zhì)數(shù),。

　　合乎要求的質(zhì)數(shù)是3、5、7,、37,、53、73,。

例4 5112的約數(shù)有多少個。

分析：首先把5112分解為質(zhì)因數(shù)的乘積,，進而求出全部約數(shù),。

　　5112的約數(shù)都是由2，3,，71這些因子構(gòu)成,，約數(shù)中，關(guān)于2的因子有四種情況：含有三個2,、含有兩個2,、含有一個2和不含有2；關(guān)于3的因子有三種情況：含有兩個3,、含有一個3和不含3,；關(guān)于71的因子有兩種情況：含有一個71和不含有71。

　　根據(jù)乘法原理,，含有2,、3、71的約數(shù)的種類有4×3×2=24種,，即有24個約數(shù),。

　　用我們前面提過的約數(shù)個數(shù)的公式，也可以很簡捷的求出：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24

例5 在1～300之間,，求出：約數(shù)個數(shù)正好是15個的自然數(shù),。

解：首先看一下組成這數(shù)的質(zhì)因子的情況是什么樣子的。

　　15=1×15=3×5

　　根據(jù)約數(shù)的個數(shù)的公式,，這個自然數(shù)中只含有兩個不同的質(zhì)因數(shù),，不妨設(shè)這兩個質(zhì)因數(shù)分別是A、B,。

　　由此可以得出，對于任何A＞3或B＞2的取法都不符合條件,。

　　所以,，在1～300之間，約數(shù)個數(shù)是15個的自然數(shù)只有144,。

例6 有一個自然數(shù)含有10個不同的約數(shù),，但質(zhì)約數(shù)只有2和3。那么,，這個自然數(shù)最大是幾,？

　　根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式：

　　約數(shù)個數(shù)10=（m+1）×（n+1）=1×10=2×5

　　這樣,，m,，n，的取值只有四種可能：

　　即這個自然數(shù)有四種可能的形式：

　　其中前面兩個不合條件應(yīng)去掉,。

例7 房間里有100盞電燈,，并且編號號碼1,，2，3,，…,，100。每盞燈上有一個拉線開關(guān)開始時電燈全都是關(guān)的,。100位同學(xué)由房間外逐個走進去,。第一位同學(xué)，把編號是1的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉動一下,；第二位同學(xué),，把編號是2的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉動一下,；第三位同學(xué)，把編號是3的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉動一下,，……,，第100位同學(xué)，把編號是100的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉動一下,。這時,，房間里有哪些號碼的燈是亮的？

分析：根據(jù)這個約定,，第一個同學(xué)應(yīng)當(dāng)拉動1,，2，3,，……100，各個編號的燈,，第二個同學(xué)應(yīng)當(dāng)拉動2,，4，6,，8,，……100，各個編號的燈,，第三位同學(xué)應(yīng)當(dāng)拉動3,，6，9,，……,，99各個編號的燈，第100位同學(xué)只拉動100號燈,。

　　由于開始時燈是關(guān)著的,，被拉動偶數(shù)次的燈還是不亮，而被拉動奇數(shù)次的燈才會亮,。燈的編號有多少個約數(shù),，它就被該約數(shù)號碼的所有同學(xué)拉動有多少次?？磥?～100中每個整數(shù)約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù),，決定了最后的結(jié)果。我們可以分析幾個數(shù)的約數(shù)個數(shù),，看其奇偶性的規(guī)律,。

　　觀察得出：編號為平方數(shù)的燈，都有奇數(shù)個約數(shù)

解：由于約數(shù)有奇數(shù)個的燈,，被拉動奇數(shù)下,，結(jié)果才能亮,。而平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)。因此,，有十盞燈亮的,，編號是：

　　1，4,，9,，16，25,，36,，49，64,，81,，100。

　　1.下列的說法對嗎,？為什么呢,？

　　（1）質(zhì)數(shù)與合數(shù)組成了自然數(shù),；（ ）

　?。?）所有偶數(shù)都是合數(shù)；（ ）

　?。?）所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù),；（ ）

　　（4）質(zhì)數(shù)一定不是偶數(shù),；（ ）

　?。?）兩個質(zhì)數(shù)的和一定是偶數(shù)；（ ）

　?。?）任意兩個自然數(shù)的積都是合數(shù),。（ ）

　　2.兩個相鄰的自然數(shù)的積是756，這兩個數(shù)是幾,？

　　3.寫出1155的所有兩位的約數(shù),。

　　4.2340有多少個約數(shù)？

　　5.有四個小學(xué)生的年齡相乘是11880,，問他們的年齡分別是幾歲,？

　　6.有一個質(zhì)數(shù)，它加上10是質(zhì)數(shù),，加上14也是質(zhì)數(shù),，把它求出來。